Richtig oder Falsch-Fragen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sind folgende Aufgaben richtig oder falsch:
a) 3/4€Z[1/2] ist irreduzibel.
b) Der Körper F_2048 hat mehr Teilkörper als F_1024.
c) Die Gruppe [mm] S_8 [/mm] besitzt ein Element der Ordnung 20.
d) Das Polynom [mm] x^10+x^4+1 [/mm] ist irreduzibel in [mm] F_2[x].
[/mm]
e) Das Polynom [mm] x^3-3 [/mm] ist irreduzibel in Q(sqrt(2))[x].
f) Ist z€C algebraisch über Q, so ist auch der Realteil Re(z) algebraisch über Q.
g) Die Gruppe [mm] Aut(x^4+4|Q) [/mm] ist trivial.
g) Jede Galois-Erweiterung L|K vom Grad 60 hat einen Zwischenkörper Z mit [Z:K]=15 |
So hier mal meine Antwortversuche, sollen nur kurze Begründungen sein, kein Beweis verlangt.
a) Richtig: Ist irreduzibel, weil sich 3/4 nicht als Produkt von 2 Nichteinheiten schreiben lässt.
b) Falsch: 2048=2^11 und 1024=2^10 und da 10 mehr Teiler hat, hat es auch mehr Teilkörper.
c) Falsch: Hier habe ich mit dem kgV gerechnet, nur 4 und 5 €{1,...7} hat einen kgV von 20, aber 4+5 ist nicht 8 also kein Element der Ordnung 20.
d) Falsch: [mm] x^10+x^4+1= (x^5+x^2+1)(x^5+x^2+1)
[/mm]
e) Richtig: Gibt keine Nullstelle in Q(sqrt(2))[x].
f) Weiß ich nicht genau, würd richtig sagen.
g) Reicht es hier zu schauen, ob Q der Zerfällungskörper von [mm] x^4+4 [/mm] ist? Ist er auf jeden Fall nicht, also falsch.
h) Hier muss man prüfen, ob eine Gruppe der Ordnung 60 eine Untergruppe der Ordnung 15 hat, aber wie?
Ich weiß ist ziemlich viel, aber vll kann mir trotzdem jemand helfen, reicht auch eine kurze Begründung. Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Sa 11.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sind folgende Aufgaben richtig oder falsch:
> a) 3/4€Z[1/2] ist irreduzibel.
Das Zeichen, was du meinst, ist [mm] $\in$, [/mm] und nicht das Euro-Zeichen. Schau mal unten im Formeleditor.
> b) Der Körper F_2048 hat mehr Teilkörper als F_1024.
> c) Die Gruppe [mm]S_8[/mm] besitzt ein Element der Ordnung 20.
> d) Das Polynom [mm]x^10+x^4+1[/mm] ist irreduzibel in [mm]F_2[x].[/mm]
> e) Das Polynom [mm]x^3-3[/mm] ist irreduzibel in Q(sqrt(2))[x].
> f) Ist z€C algebraisch über Q, so ist auch der Realteil
> Re(z) algebraisch über Q.
> g) Die Gruppe [mm]Aut(x^4+4|Q)[/mm] ist trivial.
> g) Jede Galois-Erweiterung L|K vom Grad 60 hat einen
> Zwischenkörper Z mit [Z:K]=15
>
> So hier mal meine Antwortversuche, sollen nur kurze
> Begründungen sein, kein Beweis verlangt.
> a) Richtig: Ist irreduzibel, weil sich 3/4 nicht als
> Produkt von 2 Nichteinheiten schreiben lässt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Falsch: 2048=2^11 und 1024=2^10 und da 10 mehr Teiler
> hat, hat es auch mehr Teilkörper.
> c) Falsch: Hier habe ich mit dem kgV gerechnet, nur 4 und
> 5 €{1,...7} hat einen kgV von 20, aber 4+5 ist nicht 8
> also kein Element der Ordnung 20.
> d) Falsch: [mm]x^10+x^4+1= (x^5+x^2+1)(x^5+x^2+1)[/mm]
> e) Richtig:
> Gibt keine Nullstelle in Q(sqrt(2))[x].
> f) Weiß ich nicht genau, würd richtig sagen.
Ist richtig: wenn $z$ eine Nullstelle von $f [mm] \in \Q[X]$ [/mm] ist, dann auch [mm] $\overline{z}$. [/mm] Ist also $z$ algebraisch, so auch [mm] $\overline{z}$, [/mm] und damit auch [mm] $\Re [/mm] z = [mm] \frac{z + \overline{z}}{2}$.
[/mm]
> g) Reicht es hier zu schauen, ob Q der Zerfällungskörper
> von [mm]x^4+4[/mm] ist? Ist er auf jeden Fall nicht, also falsch.
Genau.
> h) Hier muss man prüfen, ob eine Gruppe der Ordnung 60
> eine Untergruppe der Ordnung 15 hat, aber wie?
Nicht ganz: du musst schauen, ob eine Gruppe $G$ der Ordnung 60 eine Untergruppe $U$ hat mit $[G : U] = 15$, also mit $|U| = 60/15 = 4$.
Dazu musst du jetzt mal schauen, welche Gruppen der Ordnung 60 du so kennst. Bei den abelschen Gruppen gibt es immer so eine Untergruppe (da gilt die Umkehrung vom Satz von Lagrange), also brauchst du die nicht anzuschauen.
Edit: das unten geschriebene stimmt nicht; siehe die weiteren Beitraege im Thread.
Interessant ist vermutlich [mm] $A_5$, [/mm] da [mm] $|A_5| [/mm] = [mm] \frac{5!}{2} [/mm] = 60$ ist. Du musst dir also ueberlegen, ob es eine Unterrguppe der Ordnung 4 in [mm] $A_5$ [/mm] gibt.
So eine Unterrguppe besteht entweder aus einem Element der Ordnung 4 (und der davon erzeugten Unterrguppe). Jedoch ist ein solches Element ein Produkt von drei Transpositionen und somit nicht in [mm] $A_4$. [/mm] Also bleibt die Moeglichkeit, dass die Untergruppe von zwei Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird (und somit isomorph zu [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] ist). Elemente der Ordnung 2 in [mm] $A_5$ [/mm] kannst du sehr explizit beschreiben, und du wirst sehen, dass du keine zwei verschiedenen finden kannst die miteinander kommutieren. Damit folgt, dass es eine solche Untergruppe nicht gibt.
Damit ist die Antwort fuer (g) "falsch".
LG Felix
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Danke für die schnelle Antwort.
Hab nicht gewusst, dass wenn z eine Nullstelle ist, dass dann auch das konjugierte von z eine Nullstelle ist. Danke.
Zur h)
stimmt, man muss zeigen, dass die Gruppe der Ordnung 60 eine Untergruppe der Ordnung 4 hat. Aber kann man nicht durch Sylow sagen, dass jede Gruppe mit Ordnung 60 eine Untergruppe der Ordnung 4 hat. [mm] 60=2^2*3*5, [/mm] also hat es doch mindestens eine 2-Sylowgruppe mit Ordnung 4. Also müsste h doch dann richtig sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Sa 11.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die schnelle Antwort.
> Hab nicht gewusst, dass wenn z eine Nullstelle ist, dass
> dann auch das konjugierte von z eine Nullstelle ist.
> Danke.
Das liegt daran, dass die Koeffizienten des Polynoms reelle Zahlen sind, also im Fixkoerper der komplexen Konjugation ist. (Die komplexe Konjugation erzeugt ja die Galoisgruppe von [mm] $\IC/\IR$.)
[/mm]
> Zur h)
> stimmt, man muss zeigen, dass die Gruppe der Ordnung 60
> eine Untergruppe der Ordnung 4 hat. Aber kann man nicht
> durch Sylow sagen, dass jede Gruppe mit Ordnung 60 eine
> Untergruppe der Ordnung 4 hat. [mm]60=2^2*3*5,[/mm] also hat es doch
> mindestens eine 2-Sylowgruppe mit Ordnung 4. Also müsste h
> doch dann richtig sein?
Stimmt, da hab ich mich vertan. Und das brauchst du auch: dass jede Gruppe der Ordnung 60 eine Untergruppe der Ordnung 4 hat. Damit stimmt (h).
LG Felix
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| Aufgabe | a) Der Grad der Körpererweiterung [mm] \IQ(\wurzel{3},\wurzel{12})|\IQ [/mm] ist 4.
b) Die Anzahl der Isomorphietypen abelscher Gruppen der Ordnung [mm] p^3 [/mm] ist für alle p P gleich.
c) Es gibt Gruppen der Ordnung 4 mit genau einem Element der Ordnung 4
d) Falls die Ordnung der Einheitengruppe von [mm] \IZ_n [/mm] ungerade ist, ist sie 1.
e) Ist ein normiertes Polynom [mm] f\el\ \IZ[x] [/mm] modulo 2 irreduzibel, so auch über [mm] \IZ.
[/mm]
f) Jede unendliche Gruppe hat unendlich viele Untergruppen.
g) Die alternierende Gruppe A5 hat eine Untergruppe der Ordnung 20.
h) Es gibt einen Gruppen-Epimorphismus von C2xC2xC2 auf C4 |
Gut dann habe ich dass soweit auch verstanden. Ich habe noch so einen Block an richtig und falsch fragen, hab dieses auch in ein anderem Forum gepostet, da ich gedacht habe, so kommen mehr antworten. Aber du hast mir so schnell geholfen, vll kannst du auch noch kurz einen Blick auf diese Fragen werfen. Würd mich sehr freuen, vielen, vielen Dank.
a) [mm] Falsch:\wurzel{12}=2*\wurzel{3}und [/mm] somit ist [mm] \IQ(\wurzel{3},\wurzel{3})|\IQ =\IQ(\wurzel{12})|\IQ [/mm] und diese Erweiterung hat Grad 2.
b) Richtig: Hier bin ich mir nicht ganz sicher, aber die abelschen Gruppen z.b mit Ordnung 8 sehn ja so aus: C8; C4xC2; C2xC2xC2 und dies gilt für alle p.
c) Falsch: Es gibt nur 2 Gruppen mit Ordnung 3: C4 und C2xC2. C4 hat 2 Elemente Ordnung 4 und C2xC2 keins.
d) Richtig: Gilt [mm] |E(\IZ_n)|=\phi(n)? [/mm] Wenn ja, ist doch nur bei n=1 [mm] \phi [/mm] ungerade oder?
e)Keine Ahnung, würde aber sagen, dass es richtig ist
f) Falsch: Würde ich sagen ist falsch, aber nur vom Gefühl her.
g) Falsch: Wie kann ma genau zeigen, dass es keine Untergruppe 20 gibt, mit Sylow zeigt man ja nur die UG mit Ordnung 2,4,3, und 5.
h) Falsch: Reicht es hier einfach zu sagen, dass C2xC2xC2 keine Elemente Ordnung 4 hat und somit kann es kein Epimorphismus geben, weil C4 2 Elemente der Ordnung 4 hat.
Also vielen Dank nochmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 So 12.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> a) Der Grad der Körpererweiterung
> [mm]\IQ(\wurzel{3},\wurzel{12})|\IQ[/mm] ist 4.
> b) Die Anzahl der Isomorphietypen abelscher Gruppen der
> Ordnung [mm]p^3[/mm] ist für alle p P gleich.
> c) Es gibt Gruppen der Ordnung 4 mit genau einem Element
> der Ordnung 4
> d) Falls die Ordnung der Einheitengruppe von [mm]\IZ_n[/mm]
> ungerade ist, ist sie 1.
> e) Ist ein normiertes Polynom [mm]f\el\ \IZ[x][/mm] modulo 2
> irreduzibel, so auch über [mm]\IZ.[/mm]
> f) Jede unendliche Gruppe hat unendlich viele
> Untergruppen.
> g) Die alternierende Gruppe A5 hat eine Untergruppe der
> Ordnung 20.
> h) Es gibt einen Gruppen-Epimorphismus von C2xC2xC2 auf
> C4
>
> Gut dann habe ich dass soweit auch verstanden. Ich habe
> noch so einen Block an richtig und falsch fragen, hab
> dieses auch in ein anderem Forum gepostet, da ich gedacht
> habe, so kommen mehr antworten. Aber du hast mir so schnell
> geholfen, vll kannst du auch noch kurz einen Blick auf
> diese Fragen werfen. Würd mich sehr freuen, vielen, vielen
> Dank.
>
> a) [mm]Falsch:\wurzel{12}=2*\wurzel{3}und[/mm] somit ist
> [mm]\IQ(\wurzel{3},\wurzel{3})|\IQ =\IQ(\wurzel{12})|\IQ[/mm] und
> diese Erweiterung hat Grad 2.
> b) Richtig: Hier bin ich mir nicht ganz sicher, aber die
> abelschen Gruppen z.b mit Ordnung 8 sehn ja so aus: C8;
> C4xC2; C2xC2xC2 und dies gilt für alle p.
Fuer diese Aufgabe brauchst du den Hauptsatz ueber endlich erzeugte abelsche Gruppen. Du kannst dir damit schnell ueberlegen, dass jede solche Gruppe eindeutig in der Form [mm] $\IZ/p^{e_1}\IZ \times \dots \times \IZ/p^{e_k}\IZ$ [/mm] geschrieben werden kann mit $1 [mm] \le e_1 \le \dots \le e_k$ [/mm] und [mm] $e_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] e_k [/mm] = 3$. Die Anzahl dieser Tupel [mm] $(e_1, \dots, e_k)$, [/mm] die das erfuellt, haengt nicht von $p$ ab.
> c) Falsch: Es gibt nur 2 Gruppen mit Ordnung 3: C4 und
Du meinst Ordnung 4 
> C2xC2. C4 hat 2 Elemente Ordnung 4 und C2xC2 keins.
Genau.
Und allgemeiner: wenn du in einer Gruppe $G$ ein Element $g$ der Ordnung 4 hast, dann ist [mm] $g^3$ [/mm] ebenfalls ein Element der Ordnung 4, welches echt von $g$ verschieden ist. D.h. sobald es ein Element der Ordnung 4 in $G$ gibt, muss es mindestens zwei geben.
> d) Richtig: Gilt [mm]|E(\IZ_n)|=\phi(n)?[/mm] Wenn ja, ist doch nur
> bei n=1 [mm]\phi[/mm] ungerade oder?
Genau.
> e)Keine Ahnung, würde aber sagen, dass es richtig ist
Ja. Hattet ihr das Reduktionskriterium bei den Kriterien fuer Irreduzibilitaet? Damit folgt das direkt.
> f) Falsch: Würde ich sagen ist falsch, aber nur vom
> Gefühl her.
Ich wuerde sagen, es stimmt.
Hat $G$ ein Element $g$ unendlicher Ordnung, so sind die von $g$, [mm] $g^2$, $g^3$, [/mm] ... erzeugten Untergruppen alle verschieden und du hast unendlich viele.
Hat $G$ kein Element unendlicher Ordnung, jedoch Elemente [mm] $g_1, g_2, [/mm] ...$ mit Ordnungen [mm] $e_1, e_2, [/mm] ...$ mit [mm] $\lim e_n [/mm] = [mm] \infty$, [/mm] so sind die Untergruppen [mm] $\langle g_1 \rangle, \langle g_2 \rangle$, [/mm] ... unendlich viele verschiedene Untergruppen.
Haben in $G$ alle Elemente eine Ordnung [mm] $\le [/mm] n$ (fuer ein festes $n > 1$), so muss es unter den Untergruppen vom Typ [mm] $\langle [/mm] g [mm] \rangle$, [/mm] $g [mm] \in [/mm] G$ unendlich viele verschiedene geben, da jede hoechstens $n$ Elemente umfasst und da $G$ unendlich ist.
> g) Falsch: Wie kann ma genau zeigen, dass es keine
> Untergruppe 20 gibt, mit Sylow zeigt man ja nur die UG mit
> Ordnung 2,4,3, und 5.
Das ist etwas schwerer. Such mal im Netz nach "A5 has no subgroup of order 20", da findest du ein paar Beweise.
Eine Moeglichkeit ist wie folgt: angenommen es gibt so eine Untergruppe $U$. Dann liefert die Gruppenoperation $G [mm] \times [/mm] G/U [mm] \to [/mm] G/U$, $(g, h U) [mm] \mapsto [/mm] g h U$ (hier bezeichnet $G/U$ die Menge der Linksnebenklassen von $G$) einen Gruppenhomomorphismus [mm] $A_5 \to S_3$, [/mm] dessen Kern in $U$ enthalten ist. Da [mm] $A_5$ [/mm] einfach ist muss der Kern gleich [mm] $\{ id \}$ [/mm] sein, womit du einen Widerspruch zu [mm] $|A_5| [/mm] > [mm] |S_3|$ [/mm] bekommst.
> h) Falsch: Reicht es hier einfach zu sagen, dass C2xC2xC2
> keine Elemente Ordnung 4 hat und somit kann es kein
> Epimorphismus geben, weil C4 2 Elemente der Ordnung 4 hat.
Genau.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 12.02.2012 | | Autor: | Blackbull |
Hallo,
danke für deine super Hilfe vielen Dank. Jetzt bin ich wieder etwas schlauer =)
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