Resultierende bestimmen < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Matrix22 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie für den belasteten Träger die Resultierende R der Streckenlast q(x) sowie ihre Koordinate XR. |
Servus,
ich habe das Bild jetz nicht gepostet aber die Zeichnung kann ich kurz beschreiben; Links habe ich ein loslager und rechts ein Festlager, die Kurve verläuft von links nach Rechts exponentiell. Die ganze Strecke ist L lang.
Vorgegeben ist: [mm] q(x)=q0(x/L)^2
[/mm]
Die lösung habe ich auch: R=q0(L/3) und XR=3/4L
Meine Frage ist wie fängt man das an zu lösen lese gerade und habe da zwei Formeln über einjen Integrationsweg:
Q(x)= - [mm] \int_{}^{}q(x)dx+C1
[/mm]
M(x)= [mm] \int_{}^{}Q(x)dx+C2
[/mm]
Leider fällt mir jeglicher Ansatz auch durch das viele Lesen gelingt es mir nicht solche Aufgaben zu lösen. Für so eine Aufgabe habe ich 2 minuten Zeit.
Wäre schön wenn mir jemand das Erklären könnte vieleicht noch was drumherum was ich wissen sollte.
Danke
Matrix22
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Rene |
Hallo!
Die Resultierende einer Streckenlast, bekommst du immer über das Integral. Die Resultierende entspricht quasi der Fläche. Also einfach:
[mm] R=\int_0^L{q(x)dx}[/mm]
Einfach deine Streckenlast einsetzen.
[mm] R=\int_0^L{q_0\left(\frac{x}{L}\right)^2 dx}[/mm]
Alles Konstante davor ziehen
[mm]R=\frac{q_0}{L^2}\int_0^L{x^2 dx}[/mm]
Das sollte für die Lösbar sein. Da es sich um ein bestimmtes Integral handelt, hast du keine Integrationkonstante!
[mm]R=\frac{q_0}{L^2}\left[\frac{1}{3}x^3\right]^{L}_0=\frac{q_0\cdot L^3}{3\cdot L^2}=\frac{1}{3}q_0L[/mm]
Die Lage der Resultierenden entspricht der x-Komponente des Flächenschwerpunkts. Allgemein:
[mm]x_s=\frac{1}{A}\int_A{xdA}[/mm]
Wie zuvor bereits erwähnt, entspricht die Resultierende der Fläche. Weiterhin gilt [mm]dA=dx\cdot dy[/mm]. Hierbei ist die Reihenfolge zu beachten. y ist hierbei eine Funktion von x. Genauer y(x)=q(x). Es gilt somit:
[mm]x_R=\frac{1}{R}\int_x{\int_y{x\cdot dy\cdot dx}}=\frac{1}{R}\int_{x_a}^{x_e}{\int_{0}^{q(x)}{x\cdot dy\cdot dx}}=\frac{1}{R}\int_{x_a}^{x_e}{x\int_{0}^{q(x)}{dy\cdot dx}}[/mm]
[mm]x_e,x_a[/mm] entsprechen den Grenzen. Also hier [mm]x_e=L, x_a=0[/mm]. Jetzt brauchst du nur noch einsetzen und ausrechnen.
[mm]x_R=\frac{1}{R}\int_{0}^{L}{x\int_{0}^{q(x)}{dy\cdot dx}}=\frac{1}{R}\int_{0}^{L}{x\left[y\right]_{0}^{q(x)}\cdot dx}}=\frac{1}{R}\int_0^L{x\cdot q(x)\cdot dx}[/mm]
[mm]x_R=\frac{1}{R}\int_0^L{\frac{q_0}{L^2}x^3dx}=\frac{q_0}{L^2\cdot R}\int_0^L{x^3 dx}[/mm]
Einsetzen der Resultierenden liefert.
[mm]x_R=\frac{3q_0}{q_0\cdot L^3}\int_0^L{x^3 dx}=\frac{3}{L^3}\int_0^L{x^3 dx}[/mm]
Jetzt löst du nur noch das bestimmte Integral und bist fertig.
[mm]x_R=\frac{3}{L^3}\left[\frac{1}{4}x^4\right]_0^L=\frac{3}{4}L[/mm]
Mit freundlichem Gruß
René
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Hey Rene vielen Dank für die Anwort klingt und sieht alles sehr Übersichtlich aus.
Vielen dank nochmal für die Ausführlichkeit so verstehe ich das auch.
Danke
Gruss Matrix22
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