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| Aufgabe | Es sei ein Körper [tex] \IK [/tex], sowie zwei Polynome [tex]p,q [/tex] über [tex] \IK [/tex] mit den Graden [tex]deg(p) = l > 0 [/tex] und [tex]deg(q) = m > 0 [/tex] gegeben.
Wir wollen die Resultante [tex]Res_{p,q}[/tex] von [tex]p,q[/tex] definieren als Determinante der Matrix [tex] A = (a_{ij})_{i,j \le n} [/tex], wobei wir folgendes fordern:
[tex] n = l + m [/tex]
und
[tex] a_{ij} := \begin{cases} b_{j-i}, & \mbox{für } i \le m \mbox{ und} = \le j-i \le l \\ c_{j+m-i}, & \mbox{für } i > m \mbox{ und} 0 \le j+m-i \le m \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/tex]
a) Zeige die Äquivalenz der folgenden drei Aussagen:
(i) [tex] Res_{p,q} = det(A) = 0 [/tex]
(ii) Die Polynome [tex]p, xp, x^{2}p,...,x^{m-1}p, q, xq, ..., x^{l-1} [/tex] sind linear abhängig.
(iii) Es existieren Polynome [tex] f,g \in \IK \[ x \] [/tex] mit den Graden [tex] deg(f) < m , deg(g) < l [/tex], so dass gilt: [tex] pf=qg [/tex].
b) Zeige ferner, dass die folgende Aussage eine hinreichende Bedingung zu a)(iii) ist:
(iv) [tex] p [/tex] und [tex] q [/tex] haben einen gemeinsamen nicht-konstanten Teiler [tex] r \in \IK \[ x \] [/tex]. |
Aloha hé,
diese Aufgabe hat mich bislang das ganze Wochenende wachgehalten und auch gestern ordentlich beschäftigt. Nur so ganz will es leider nicht werden. Mag vielleicht daran liegen, dass ich die Matrix irgendwie etwas unhandlich finde.
Zur Lösung der Aufgabe habe ich mir überlegt, dass ich für a) eigentlich keine Einzeläquivalenzen zeigen möchte, sondern nach Zirkelschlussprinzip, also: [tex] (i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (i) [/tex].
Soweit zu meinen Vorstellungen, nun dazu, was ich mir überlegt habe.
Zunächst: Die Matrix A muss quadratisch sein. Klingt banal, wollte ich aber erstmal fixiert haben (sonst klappt das mit der Determinante ja auch nicht).
[tex] (i) \Rightarrow (ii) [/tex]:
Das ist mir vom Verständnis so weit irgendwie klar. Wenn die Resultante (also gerade die Determinante obiger Matrix) gleich 0 ist, so muss es mind. zwei identische oder wenigstens linear-abhängige Zeilen in der Matrix geben.
Wenn ich die i-te Zeile der Matrix als das Polynom [tex] x^{i}p [/tex] auffasse (wenn [tex] i
Allerdings ist mir leider nocht nicht klar, wie ich daraus diese doch recht starke Aussage, dass alle der in (ii) angegebenen Polynome linear abhängig sind folgern soll.
Rein von der Überlegung her, würde es nur dann funktionieren, wenn [tex] m = l [/tex] gilt.
Die "Rückrichtung", also [tex] (ii) \Rightarrow (i) [/tex] finde ich wieder recht einleuchtend: Wenn Zeileneinträge linear abhängig/identisch sind, dann ist die Determinante 0. (Nutzt mir aber nichts, da ich ja den eleganten Zirkelschluss nutzen wollte).
[tex] (ii) \Rightarrow (iii) [/tex]:
An dieser Stelle bin ich etwas verwirrt, da mir die Aussage etwas losgelöst von der Matrix vorkommt.
Wenn ich (ii) voraussetze, dann weiß ich, dass [tex]x^{m}p,...,x^{l}p [/tex] bwz. [tex] x^{l-1}q,...,x^{m} [/tex] linear unabhängig sind.
Dementsprechend müsste ich [tex] f,g \in \IK \[ x\] [/tex] nur noch derart wählen, dass sie gerade in diesen linear-unabhängigen Bereich fallen, oder?
Wie gesagt, diese Folgerung ist mir aktuell noch nicht wirklich ersichtlich.
[tex] (iii) \Rightarrow (i) [/tex]:
Wenn ich in dieser Aufgabe einfach nur [tex] f,g [/tex] finden müsste, würde ich es mir einfach machen, und einfach das Nullpolynom nehmen. Denn dieses erfüllt sicherlich die in [tex] (iii) [/tex] genannten Bedingungen. Allerdings ist
mir irgendwie klar, dass dieser Teil darauf hinauslaufen muss, dass [tex] p,q [/tex] irgendwie linear-abhängig sind, damit ich [tex] (i) [/tex] daraus folgern kann. Aber auch hier will mein Kopf mich aktuell nicht mit sinnvollen Ideen versorgen.
b) [tex] (iv) \Rightarrow (iii) [/tex]:
Wenn [tex]p,q[/tex] einen gemeinsamen, nicht-konstanten Teiler besitzen, kann man sie schreiben als:
[tex] p = r * p' [/tex] bzw. [tex] q = r * q' [/tex]. Man könnte also gerade [tex] f = q' [/tex] und [tex] g = p' [/tex] setzen und erhielte [tex] (iii) [/tex]. Dies geht allerdings nur, wenn [tex] q', p' [/tex] die in [tex] (iii) [/tex] genannten Grad-Bedingungen erfüllt. Hier lande ich wieder bei meiner "Hoffentlich ist das so"-Annahme, dass die Polynome [tex] p,q [/tex] den gleichen Grad haben... denn dann wäre das problemlos.
Ich hoffe, dass einer von euch trotz der komplizierten Matrix einen Zaunpfahl parat hat, mit dem er mich in die richtige Richtung stuppsen kann. Ich würde mich sehr freuen, denn die Verwirrung, die diese Aufgabe angerichtet hat ist groß.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiter grübeln wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 25.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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