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| Aufgabe | Wir fixieren ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] und betrachten die Restklassengruppe [mm] $(\IZ/m\IZ,+)$. [/mm] Sei $a [mm] \in \IZ, [/mm] g:=ggT(a,m)$.
a) Für die von $[a]_$ erzeugte Untergruppe von [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] zeige man [mm] $<[a]_m>=<[g]_m>$.
[/mm]
b) Zeige mittels a), dass [mm] $ord([a]_m)=\bruch{m}{g}$ [/mm] ist. |
Hallo Zusammen,
ich habe mal versucht für die a) das Lemma von Bézout zu benutzen. Nach diesem gilt ja für den ggT(a,m)=g gibt es zwei ganze Zahlen $s,t$ mit $s*a+t*m=g$.
Sei nun ein Element $x [mm] \in <[a]_m>$ [/mm] dann gibt es ein [mm] $\lambda \in \IN$ [/mm] (das kleiner-gleich der Ordnung von [mm] $[a]_m$ [/mm] ist) mit [mm] $x\equiv\lambda*a \mod [/mm] m$.
Dann lässt sich $s*a+t*m=g$ umschreiben in [mm] $a=\bruch{g}{s}-\bruch{tm}{s}=a$. [/mm] Einsetzen liefert
[mm] $x\equiv \lambda [/mm] * [mm] (\bruch{g}{s}-\bruch{tm}{s}) \mod [/mm] m$
[mm] $x\equiv \bruch{\lambda}{s}*g \mod [/mm] m$
Also in $x$ auch in [mm] $<[g]_m>$ [/mm] enthalten. Muss man da noch zeigen, dass [mm] $\bruch{\lambda}{s}$ [/mm] ganzzahlig ist? ich wüsste nicht genau wie...
bei der b) bräuchte ich vielleicht einen kleinen Hinweis. Vielleicht sieht es ja jemand von euch direkt?
Viele Dank schon mal im Voraus für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mi 18.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wir fixieren ein [mm]m \in \IN[/mm] und betrachten die
> Restklassengruppe [mm](\IZ/m\IZ,+)[/mm]. Sei [mm]a \in \IZ, g:=ggT(a,m)[/mm].
>
> a) Für die von [mm][a]_[/mm] erzeugte Untergruppe von [mm]\IZ/m\IZ[/mm]
> zeige man [mm]<[a]_m>=<[g]_m>[/mm].
>
> b) Zeige mittels a), dass [mm]ord([a]_m)=\bruch{m}{g}[/mm] ist.
>
> ich habe mal versucht für die a) das Lemma von Bézout zu
> benutzen. Nach diesem gilt ja für den ggT(a,m)=g gibt es
> zwei ganze Zahlen [mm]s,t[/mm] mit [mm]s*a+t*m=g[/mm].
Genau. Also gilt $s * [mm] [a]_m [/mm] = [mm] [g]_m$.
[/mm]
> Sei nun ein Element [mm]x \in <[a]_m>[/mm] dann gibt es ein [mm]\lambda \in \IN[/mm]
> (das kleiner-gleich der Ordnung von [mm][a]_m[/mm] ist) mit
> [mm]x\equiv\lambda*a \mod m[/mm].
>
> Dann lässt sich [mm]s*a+t*m=g[/mm] umschreiben in
> [mm]a=\bruch{g}{s}-\bruch{tm}{s}=a[/mm]. Einsetzen liefert
Jetzt hast du rationale Zahlen (denn wieso sollte $g$ durch $s$ teilbar sein, oder $t m$ durch $s$?).
> [mm]x\equiv \lambda * (\bruch{g}{s}-\bruch{tm}{s}) \mod m[/mm]
>
> [mm]x\equiv \bruch{\lambda}{s}*g \mod m[/mm]
(Apropos: einfach so wild Gleichungen hinschreiben ist keine gute Idee. Die Zeichen [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] und [mm] "$\Leftrightarrow$" [/mm] haben schon ihre Berechtigung.)
Und warum ist $s$ ein Teiler von [mm] $\lambda$?
[/mm]
> Also in [mm]x[/mm] auch in [mm]<[g]_m>[/mm] enthalten. Muss man da noch
> zeigen, dass [mm]\bruch{\lambda}{s}[/mm] ganzzahlig ist? ich wüsste
> nicht genau wie...
Genau. Das muesste man.
Man kann aber auch viel einfacher vorgehen.
Es ist ja $g$ ein Teiler von $a$ und von $m$ (naemlich der groesste gemeinsame). Damit gibt es ein $y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $g [mm] \cdot [/mm] y = a$. Insbesondere ist also [mm] $[x]_m [/mm] = [mm] \lambda \cdot [a]_m [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [g [mm] y]_m [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] y) * [mm] [g]_m$ [/mm] und somit [mm] $[x]_m \in \langle [g]_m \rangle$.
[/mm]
Fuer die andere Inklusion brauchst du das Lemma von Bezout.
> bei der b) bräuchte ich vielleicht einen kleinen Hinweis.
> Vielleicht sieht es ja jemand von euch direkt?
Rechne die Ordnung von [mm] $[g]_m$ [/mm] aus. Beachte dazu, dass [mm] $\frac{m}{g}$ [/mm] eine ganze Zahl ist. Und gleichzeitig die kleinste, so dass [mm] $\frac{m}{g} \cdot [/mm] g$ groessergleich $m$ ist (und es ist sogar genau $m$).
Damit solltest du [mm] $ord([g]_m) [/mm] = [mm] \frac{m}{g}$ [/mm] bekommen. Und mit (a) bekommst du dann [mm] $ord([a]_m) [/mm] = [mm] ord([g]_m)$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Mi 25.04.2012 | | Autor: | rainman_do |
Hallo und vielen Dank für deine Hilfe. Hab es dank deiner Hilfe noch ganz gut hinbekommen.
Viele Grüße, rainman_do
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