Restklassenabb, Linksnebenkl, < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Di 10.10.2006 | | Autor: | Oliilli |
Hallo,
Ich habe hier folgenden Satz:
Es sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler von G.
Sei
d: [mm] G\toG/N, a\mapsto\overline{a}:=aN
[/mm]
die kanonische Restklassenabbildung von G auf die Menge der Linksnebenklassen.
der Satz geht dann noch weiter, aber jetzt erstmal meine Frage dazu (vielleicht verstehe ich dann den Rest...)
G/N ist doch die Menge der Linksnebenklassen oder?
Und [mm] \overline{a} [/mm] ist doch so wie man es auch in Zahlentheorie als "Rest" versteht, oder?
Ich hab bisher noch nicht verstanden, was die Linksnebenklassen mit Restklassen zu tun haben???
Und kann mir nochmal jemand erklären, was folgendes bedeutet:
[mm] \IZ^r
[/mm]
und
[mm] \IZ [/mm] / [mm] \IZ [/mm] m (ist das jetzt auch wieder eine Linksnebenklasse?)
Danke!
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Hallo,
G/N ist die Faktorgruppe von N in G.
[mm] \IZ^{r} [/mm] bedeutet: [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] x ... x [mm] \IZ [/mm] und das ganze r-mal. (direktes Produkt von Gruppen)
Meintest Du: [mm] \IZ [/mm] /m [mm] \IZ [/mm] ? sprich : [mm] \IZ [/mm] "modulo" m [mm] \IZ [/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Oliilli |
Was ist denn eine Faktorgruppe?
Und unten meine ich schon $ [mm] \IZ [/mm] $ "modulo" m $ [mm] \IZ [/mm] $ .
Hat das dann nichts mit Linksnebenklassen zu tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Fr 13.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Oliilli!
> Was ist denn eine Faktorgruppe?
Wenn du eine Gruppe $G$ und einen Normalteiler $N [mm] \subseteq [/mm] G$ hast, dann bildet die Menge der Linksnebenklassen [mm] $\{ g N \mid g \in G \}$ [/mm] mit der Operation [mm] $g_1 [/mm] N [mm] \cdot g_2 [/mm] N := [mm] (g_1 g_2) [/mm] N$ wieder eine Gruppe. Diese Gruppe wird als Faktorgruppe (von $G$ bzgl. $N$) bezeichnet, man schreibt dafuer $G/N$. (Man sagt dazu auch ``$G$ modulo $N$''.)
> Und unten meine ich schon [mm]\IZ[/mm] "modulo" m [mm]\IZ[/mm] .
> Hat das dann nichts mit Linksnebenklassen zu tun?
Hier ist $G = [mm] \IZ$ [/mm] und $N = [mm] m\IZ$. [/mm] Also ist [mm] $\IZ/m\IZ [/mm] = G/N$ die Menge aller Linksnebenklassen von [mm] $m\IZ$ [/mm] in [mm] $\IZ$. [/mm] Die Nebenklassen lassen sich hier mit den Resten von ganzen Zahlen bei Division mit $m$ identifizieren, womit die `doppelt verwendete' Sprechweise `modulo' Sinn macht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Di 17.10.2006 | | Autor: | Oliilli |
Vielen Dank! Jetzt hab ich es verstanden!
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