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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Ich beschäftige mich grad mit Restklassen und habe gelesen,dass die Restklasse von 1 modulo 3 die Menge {...-8,-5,-2,1,4,7,10...} ist.
So,eine Restklasse einer Zahl a modulo m ist die Menge der Zahlen,die bei Division durch m den gleichen Rest haben wie a.
Ich verstehe nicht,wie hier z.B. die -8 zur Restklasse gehören kann.Denn -8:3=-2 und es bleibt ein Rest von 2 übrig und nicht ein Rest von a=1.
Aber 10:3=3 und es bleibt ein Rest von 1.Hier stimmts wieder.
Bei der -5 und -2 versteh ich das auch nicht,denn -5:3=-1,Rest von 2 bleibt, und -2:3=0,es bleibt ein Rest von -2.
Hier kommen immer verschiedene Reste raus,ich dachte der Rest muss immer gleich sein???
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Sa 30.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
vielleicht hilft dir das:
-2 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 [mm] \gdw [/mm] 3 | (-2-1)
-5 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 [mm] \gdw [/mm] 3 | (-5-1)
-8 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 [mm] \gdw [/mm] 3| (-8-1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Sa 30.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> vielleicht hilft dir das:
>
> -2 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 3 [mm]\gdw[/mm] 3 | (-2-1)
>
> -5 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 3 [mm]\gdw[/mm] 3 | (-5-1)
>
> -8 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 3 [mm]\gdw[/mm] 3| (-8-1)
>
>
>
Grundgleichung der Zahlentheorie:
Zu jeder ganzen Zahl a und zu jeder ganzen Zahl m>1 gibt es genau ein Paar ganzer Zahlen (q,r) mit a=q*m+r, wobei r [mm] \in \{0,1,...,m-1\} [/mm]
Alle Zahlen mit dem gleichen r gehören zur selben Restklasse.
Für a=-8 und m=3 gilt entsprechend
[mm] -8=3*(-3)\red{+1}
[/mm]
Also lässt -8 bei Teilung durch 3 den Rest [mm] \red{1}.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Sa 30.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich beschäftige mich grad mit Restklassen und habe
> gelesen,dass die Restklasse von 1 modulo 3 die Menge
> {...-8,-5,-2,1,4,7,10...} ist.
> So,eine Restklasse einer Zahl a modulo m ist die Menge der
> Zahlen,die bei Division durch m den gleichen Rest haben wie
> a.
> Ich verstehe nicht,wie hier z.B. die -8 zur Restklasse
> gehören kann.Denn -8:3=-2 und es bleibt ein Rest von 2
Nein, der Rest ist $-2$: es ist $-8 = 3 [mm] \cdot [/mm] (-2) + (-2)$, oder er ist 1: $-8 = 4 [mm] \cdot [/mm] (-2) + 1$.
(Aus der -2 bekommst du die 1, indem du 3 hinzuaddierst.)
Er ist zumindest nicht 2, es ist ja $-8 [mm] \neq [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] (-2) + 2$.
> übrig und nicht ein Rest von a=1.
> Aber 10:3=3 und es bleibt ein Rest von 1.Hier stimmts
> wieder.
> Bei der -5 und -2 versteh ich das auch nicht,denn
> -5:3=-1,Rest von 2 bleibt, und -2:3=0,es bleibt ein Rest
> von -2.
> Hier kommen immer verschiedene Reste raus,ich dachte der
> Rest muss immer gleich sein???
Man nimmt Reste [mm] $\ge [/mm] 0$, und der ist in jedem Fall gleich 1.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 So 31.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> Nein, der Rest ist [mm]-2[/mm]: es ist [mm]-8 = 3 \cdot (-2) + (-2)[/mm],
> oder er ist 1: [mm]-8 = 4 \cdot (-2) + 1[/mm].
Aber wieso darf man hier mit der 4 rechnen,es heißt doch modulo 3?
>
> (Aus der -2 bekommst du die 1, indem du 3 hinzuaddierst.)
Irgendwie leuchtet mir das nicht so ganz ein.Sagen wir ich rechne -8:3=-2 und habe einen Rest von -2.Wieso darf ich jetzt einfach mal den Rest mit 3 addieren,damit ich auf 1 komme.Ich hab gedacht der Rest bleibt so wie man ihn berechnet hat?
> Man nimmt Reste [mm]\ge 0[/mm], und der ist in jedem Fall gleich 1.
Oder ist es etwa so festgelegt,dass wenn man einen negativen Rest raus hat,dann einfach +m rechnet?
lg
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Hallo Mandy,
es ist nicht so kompliziert, wie es aussieht. Aber erstmal zu den aktuellen Fragen:
> > Nein, der Rest ist [mm]-2[/mm]: es ist [mm]-8 = 3 \cdot (-2) + (-2)[/mm],
> > oder er ist 1: [mm]-8 = 4 \cdot (-2) + 1[/mm].
>
> Aber wieso darf man hier mit der 4 rechnen,es heißt doch
> modulo 3?
Da hat sich Felix vertan, die Gleichung stimmt ja nicht, wenn sie nachrechnet. Er meinte sicher
...oder er ist 1: $ -8=3*(-3)+1 $
> > (Aus der -2 bekommst du die 1, indem du 3 hinzuaddierst.)
>
> Irgendwie leuchtet mir das nicht so ganz ein.Sagen wir ich
> rechne -8:3=-2 und habe einen Rest von -2.Wieso darf ich
> jetzt einfach mal den Rest mit 3 addieren,damit ich auf 1
> komme.Ich hab gedacht der Rest bleibt so wie man ihn
> berechnet hat?
In der Restklassenbetrachtung muss nichts so bleiben, wie es ist.  Den Modul darfst Du beliebig oft addieren oder subtrahieren. Du hättest ja noch irgendwas anderes rechnen können, z.B. -8:3=5. Dann hättest Du allerdings einen Rest von -23. In der Modulrechnung wäre das immer noch völlig richtig, aber irgendwie sträubt sich das Rechengefühl, das man ab der Grundschule erwirbt, dagegen. Bei mir sträubt es sich aber schon bei einem Rest von -2. Ich rechne doch sonst auch nicht 19:3=7, Rest -2. Genau darum teilt man Restklassen ein, die [mm] \mod{3} [/mm] eben gerade [0],[1] und [2] sind - im Prinzip noch wie an der Grundschule.
> > Man nimmt Reste [mm]\ge 0[/mm], und der ist in jedem Fall gleich 1.
Siehe oben.
> Oder ist es etwa so festgelegt,dass wenn man einen
> negativen Rest raus hat,dann einfach +m rechnet?
Ja, und wenn Du einen Rest [mm] \ge{m} [/mm] hast, dann rechnest Du so lange -m, bis Du sozusagen im Bereich der Restklassen angelangt bist.
Das Besondere ist gewissermaßen dies:
Du hast mal gelernt, dass Dividend durch Divisor gleich Quotient ist, und es noch einen Rest geben kann, wenn man z.B. in den natürlichen oder ganzen Zahlen rechnet. In der Modulrechnung stimmt das immer noch, aber niemand interessiert sich für den Quotienten, sondern nur noch für den Rest. Und darum sind eben 5 und 224 [mm] \mod{3} [/mm] genau das Gleiche. Übrigens auch [mm] \mod{73}, [/mm] und sonst zu keinem weiteren Modul. Naja, mit sechs Ausnahmen natürlich, die aber alle keine neue Information liefern. Doch das wäre ein anderes Thema.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 So 31.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin reverend,
> > > Nein, der Rest ist [mm]-2[/mm]: es ist [mm]-8 = 3 \cdot (-2) + (-2)[/mm],
> > > oder er ist 1: [mm]-8 = 4 \cdot (-2) + 1[/mm].
> >
> > Aber wieso darf man hier mit der 4 rechnen,es heißt doch
> > modulo 3?
>
> Da hat sich Felix vertan, die Gleichung stimmt ja nicht,
> wenn sie nachrechnet. Er meinte sicher
> ...oder er ist 1: [mm]-8=3*(-3)+1[/mm]
whoops. Ja, genau das meinte ist. Danke fuer die Korrektur :)
LG Felix
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