Restklassen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Do 01.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Ich sitze gerade an einer Aufgabe über Restklassen und habe dazu eine allgemeine Verständnisfrage.
Gibt es eine Restklasse -1? Kann der Rest bei einer Division überhaupt negativ werden? Oder ist die Restklasse am Ende sogar gleichzusetzen mit der größten Restklasse? Also bei modulo 4 beispielsweise wäre die Restklasse von -1 gleich der Restklasse von 3?
Wäre toll, wenn jemand Licht in mein Dunkel bringen könnte!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 01.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
schreibe mal die definition von restklassen auf und überprüfe dann, ob $-1 + [mm] 4\mathbb{Z} [/mm] = 3 + [mm] 4\mathbb{Z}$ [/mm] gilt. das sollte dir die frage ganz leicht beantworten.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 01.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Danke erstmal für die schnelle Antwort.
Wie sind denn die Restklassen genau definiert? Soweit ich das überblicken kann, haben wir keine explizite Definition aufgeschrieben. Die Restklassen kamen nur in Verbindung mit dem Begriff Charakteristik auf.
Meiner Meinung nach ist deine Gleichung nicht erfüllt, ist aber (da ich keine Definition habe) leider nur ein Gefühl.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Do 01.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Danke erstmal für die schnelle Antwort.
> Wie sind denn die Restklassen genau definiert? Soweit ich
> das überblicken kann, haben wir keine explizite Definition
> aufgeschrieben.
das wäre aber sehr schlecht. aber in solchen fällen hilft meist wikipedia: schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Meiner Meinung nach ist deine Gleichung nicht erfüllt, ist
> aber (da ich keine Definition habe) leider nur ein Gefühl.
probiere nochmal mit der definition darüber nachzudenken. kannst ja dann mal deine begründung hier posten.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
ich hab mir das mal auf einem zahlenstrahl angeguckt, davon kann ich ablesen, dass [mm] \overline{-1}=\overline{16}, [/mm] wenn ich den Körper [mm] \IF_{17} [/mm] betrachte, stimmt es?
Ist das mathematisch auch OK aufzuschreiben, wenn man nen Zahlenstrahl zeichnet und es dann so zeigt, oder sollte man es lieber mit Hilfe von Definitionen machen..
Ich hab noch eine weitere Frage: Was ist das Inverse der [mm] \overline{2} [/mm] im Körper [mm] \IF_{17} [/mm] Gesucht ist also [mm] \overline{x} \overline{2}\ [/mm] = [mm] \overline{1} [/mm] wenn ich diese Gleichung auflöse komme ich auf [mm] \overline{0,5} [/mm] Aber 0,5 ist ja keine ganze zahl..... :?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
hab noch mal ne frage.... wenn ich den Körper [mm] \IF_{17} [/mm] habe, wie oft muss ich dann [mm] \overline{3} [/mm] mit sich selbst multiplizieren, bis ich [mm] \overline{1} [/mm] erhalte.... ich habs sowohl mit ausprobieren als auch mit aufstellen von Formeln versucht, bin aber immer wieder gescheitert. Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?
Mein Vorschlag [mm] \overline{3}^x [/mm] = [mm] \overline{1} [/mm] bzw = [mm] \overline{18}
[/mm]
Dann würde ich mithilfe von ln x berechnen....
Wenn ich das ausrechnen will komme ich nie auf ganze Zahlen..... muss man mit Restklassen vielleicht andere Rechenregeln benutzen
ist diese Gleichung überhaupt richtig aufgestellt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> hab noch mal ne frage.... wenn ich den Körper [mm]\IF_{17}[/mm]
> habe, wie oft muss ich dann [mm]\overline{3}[/mm] mit sich selbst
> multiplizieren, bis ich [mm]\overline{1}[/mm] erhalte.... ich habs
> sowohl mit ausprobieren als auch mit aufstellen von Formeln
> versucht, bin aber immer wieder gescheitert.
Dann sind deine Rechenkenntnisse absolut nicht ausreichend!
[mm] \overline{3}*\overline{3} [/mm] = [mm] \overline{9}
[/mm]
[mm] \overline{9}*\overline{3} [/mm] = [mm] \overline{10}
[/mm]
[mm] \overline{10}*\overline{3} [/mm] = [mm] \overline{13}
[/mm]
[mm] \overline{13}*\overline{3} [/mm] = [mm] \overline{5}
[/mm]
[mm] \overline{5}*\overline{3} [/mm] = [mm] \overline{15}
[/mm]
[mm] \overline{15}*\overline{3} [/mm] = [mm] \overline{11}
[/mm]
[mm] \overline{11}*\overline{3} [/mm] = [mm] \overline{16} [/mm] = [mm] \overline{-1}
[/mm]
D. h. wenn du 8 Faktoren [mm] \overline{3} [/mm] hast, erhältst du [mm] \overline{-1}
[/mm]
Was ist dann bei 16 Faktoren? Und was ist bei 9 bis 15 Faktoren?
> Kann mir
> jemand vielleicht einen Tipp geben?
>
> Mein Vorschlag [mm]\overline{3}^x[/mm] = [mm]\overline{1}[/mm] bzw =
> [mm]\overline{18}[/mm]
> Dann würde ich mithilfe von ln x berechnen....
Laß das bloß keinen sehen, den ln gibt es in endlichen Körpern nicht.
> Wenn ich das ausrechnen will komme ich nie auf ganze
> Zahlen..... muss man mit Restklassen vielleicht andere
> Rechenregeln benutzen
Gut erkannt, diese Rechenregeln hättest du in der Vorlesung mitkriegen sollen.
> ist diese Gleichung überhaupt richtig aufgestellt?
Das ist sie allerdings, warum du das x nicht findest, ist mir schleierhaft.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
hey danke, hab deine rechnungen jetzt kapiert!!!!
verstehe aber nicht wie man meinen vorschlag ausrechnen soll.... is ja egal... hab deine rechnungen verstanden ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
> Was ist dann bei 16 Faktoren? Und was ist bei 9 bis 15
> Faktoren?
>
bei 16 Faktoren: ist das ergebnis [mm] \overline{17}=\overline{0}
[/mm]
bei 9Fakroren: [mm] \overline{10}
[/mm]
bei 15 faktoren [mm] \overline{AB}
[/mm]
stimmt'S?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 3^8=-1 [/mm] mod 17
dann kann dich [mm] 3^{16} [/mm] nicht 0 sein? was ist den [mm] (-1)^2
[/mm]
gibt es irgendeine Zahl die man mod17 potenzieren kann und es gäbe 0?
Was hätte das für Konsequenzen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
die rechnung an sich hab ich auch verstanden-aber wie muss ich die gleichung lösen?ich habe zwar herausgefunden wie oft man die 3 mit sich selbst multiplizieren muss,um das gewünschte ergebnis zu erhalten- würde aber trotzdem gern die gleichung lösen können. was für regeln gelten denn beim rechnen mit restklassen?ich finde dazu nirgends was für mich brauchbares.
viele grüße rezzana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
So einfache Rechenregeln gibts nicht. Du musst ja, anders als beim Rechnen mit ganzen Zahlen (da gibts keine Inversen bei *) und mit rationalen Zahlen immer die Multiplikationstabelle im Prinzip im Kopf haben!
es gibt sicher keine log fkt. die man wie froggie dachte anwenden kann!
also bleibt nix anderes über als die Inversen zu jeder Zahl rauszusuchen.
Mann weiss nur, dass man bei spätestens hoch 16 ein Ergebis hat!
Deshalb bleiben die Aufgaben auch immer im Bereich ganzer Zahlen!
Rechnen mit den Restklassen ist im Wesentlichen mit den Inversen addieren und multiplizieren.
Wo du also bei gewöhnlichen Gleichungen etwa durch 3 teilst (d.h. mit 1/3 multiplizierst) musst du in diesem Körper mit dem multiplikativen Inversen von 3 multiplizieren!
damit kannst du dann Gleichungen wie 3*x=5 mod 17 oder 3x+16=0 mod 16 lösen.
aber nicht [mm] 3^x=1 [/mm]
Gruss leduart
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> ich hab mir das mal auf einem zahlenstrahl angeguckt, davon
> kann ich ablesen, dass [mm]\overline{-1}=\overline{16},[/mm] wenn
> ich den Körper [mm]\IF_{17}[/mm] betrachte, stimmt es?
Hallo,
daß [mm] \overline{-1}=\overline{16} [/mm] stimmt.
>
> Ist das mathematisch auch OK aufzuschreiben, wenn man nen
> Zahlenstrahl zeichnet und es dann so zeigt, oder sollte man
> es lieber mit Hilfe von Definitionen machen..
Mit den Definitionen. Die mußt Du können und verwenden.
Was hast Du da eigentlich am Zahlenstrahl getrieben?
Wofür brauchtest Du ihn?
Du brauchst unbedingt die Restklassendef. und mußt wissen, wie die Regeln fürs Rechnen mit Restklassen lauten.
Und so Sachen wie: wenn zwei Restklassen ein gemeinsames Element haben, sind sie gleich.
Ich weiß ja nicht, was bisher alles dran war bei Euch.
Daß daß [mm] \overline{-1}=\overline{16} [/mm] kannst Du leicht so begründen: -1 und 16 lassen sie Division durch 17 denselben Rest.
also liegen sie in derselben Restklasse, also sind ihre Restklassen gleich.
>
> Ich hab noch eine weitere Frage: Was ist das Inverse der
> [mm]\overline{2}[/mm] im Körper [mm]\IF_{17}[/mm] Gesucht ist also
> [mm]\overline{x} \overline{2}\[/mm] = [mm]\overline{1}[/mm] wenn ich diese
> Gleichung auflöse komme ich auf [mm]\overline{0,5}[/mm] Aber 0,5 ist
> ja keine ganze zahl..... :?
Du suchst eine Lösung von [mm] \overline{x} *\overline{2}\ [/mm] = [mm] \overline{1}.
[/mm]
Äquivalent zu dieser Gleichung ist die Gleichung [mm] \overline{x} *\overline{2}\ [/mm] = [mm] \overline{18}
[/mm]
Nun findest Du die Lösung leicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Die genaue Aufgabe, die zu lösen ist, lautet:
Was ist das Inverse der [mm] \overline{2}? [/mm] Gesucht ist also x [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] \overline{x}\overline{2} [/mm] = [mm] \overline{1}. [/mm] Wie kann man x (außer durch ausprobieren) systematisch finden?
Das Inverse habe ich bereits gefunden. Mich interessiert das systematische Finden davon. Ich habe hierzu eine Multiplikationstafel der Restklassen modulo 17 aufgestellt. Das ist zwar etwas langwierig, hat mir aber auch bei den anderen Teilaufgaben gut und schnell geholfen. Geht das als systematisches Finden der Lösung durch?
Viele Grüße
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> Hallo!
>
> Die genaue Aufgabe, die zu lösen ist, lautet:
>
> Was ist das Inverse der [mm]\overline{2}?[/mm] Gesucht ist also x
> [mm]\in \IZ[/mm] mit [mm]\overline{x}\overline{2}[/mm] = [mm]\overline{1}.[/mm] Wie
> kann man x (außer durch ausprobieren) systematisch finden?
>
> Das Inverse habe ich bereits gefunden. Mich interessiert
> das systematische Finden davon. Ich habe hierzu eine
> Multiplikationstafel der Restklassen modulo 17 aufgestellt.
> Das ist zwar etwas langwierig, hat mir aber auch bei den
> anderen Teilaufgaben gut und schnell geholfen. Geht das als
> systematisches Finden der Lösung durch?
Ich weiß es nicht genau.
Ich selbst empfinde es als durchaus planvoll durchgeführt, und ich finde, daß es bei so kleinen Gruppen die Methoder der Wahl ist, vor allem, wenn man mehrere solcher Verknüpfungsergebnisse benötigt.
Gruß v. Angela
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und was ist die inverse und wie löse ich nun mein x?
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> und was ist die inverse und wie löse ich nun mein x?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Sprichst Du von Mirtschis Aufgabe, in welcher [mm] \overline{2}*\overline{x}=\overline{1} [/mm] zu lösen ist?
Wie im Thread zu lesen ist: das Inverse zu [mm] \overline{2} [/mm] ist [mm] \overline{9}, [/mm] und Du findest es am einfachsen, wenn Du Dir die Multiplikationstafel anschaust.
(Alternativ kannst Du auch [mm] \overline{2}*\overline{y} [/mm] für y=1,...,16 berechnen und gucken, wann [mm] \overline{1} [/mm] herauskommt.)
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Tabelle ist die einzige richtige Methode!
wenn du 2*x=14 in ganzen Zahlen löst benutzest du ja auch die Multiplikationstabelle genannt 1 mal 1 nur dass du die seit Klasse 2 auswendig kannst. Wenn du das nicht könntest müsstest du die Gleichung mit dem Inversen von 2 Mult. also [mm] 2*2^{-1}*x=14*2^{-1} [/mm] also x= [mm] 14*2^{-1}und [/mm] ohne deine 1*1 Kenntnisse müsstest du uns hier fragen ,-)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
> [mm]\overline{x} *\overline{2}\[/mm] = [mm]\overline{18}[/mm]
>
[mm] \overline{9} [/mm] :) ?
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> > [mm]\overline{x} *\overline{2}\[/mm] = [mm]\overline{18}[/mm]
> >
>
> [mm]\overline{9}[/mm] :) ?
Da würde ich glatt sagen: rrrrrrichtich - sofern Du meinst: ==> [mm] \overline{x} =\overline{9}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
ja genau, dass meine ich !!!!
Super!!!! ich kann ja doch etwas *grins*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Also, ich habe jetzt versucht das ganze mit der Definition nachzuvollziehen.
-1 + 4 [mm] \IZ [/mm] = 3 + 4 [mm] \IZ
[/mm]
daraus folgt: -1 + 4k = 3 + 4k
wenn ich das dann umforme, erhalte ich:
4 = 0
Das ist meiner Meinung nach in diesem Zusammenhang eine wahre Aussage, da sowohl die Zahl 4 als auch die Zahl 0 die Restklasse 0 für modulo 4 haben.
Stimmt das? Und kann man das so aufschreiben?
Viele Grüße
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> Also, ich habe jetzt versucht das ganze mit der Definition
> nachzuvollziehen.
>
> -1 + 4 [mm]\IZ[/mm] = 3 + 4 [mm]\IZ[/mm]
> daraus folgt: -1 + 4k = 3 + 4k
> wenn ich das dann umforme, erhalte ich:
> 4 = 0
Hallo,
so geht das nicht.
Du rechnest hier ja mit reellen Zahlen, und wenn man mit reellen Zahlen rechnet, dann ist nicht 4 = 0.
Das ist ein deutlicher Hinweis darauf, daß etwas schiefgegangen ist.
Was aber ist schiefgegangen? Es liegt an dem k, welches Du einführst:
Du behauptest da, daß man ein k findet, so daß -1 + 4k = 3 + 4k. Da kann man wohl lange suchen! (Das sagt ja auch 4=0)
Du mußt, wenn Du es ähnlich machen willst, [mm] k_1, k_2 [/mm] einführen und kannst sagen: es gibt [mm] k_1, k_2 [/mm] mit -1 + [mm] 4k_1 [/mm] = 3 + [mm] 4k_2.
[/mm]
Daraus folgt dann [mm] 0=4(1+k_2-k_1), [/mm] und daß man solche [mm] k_i [/mm] findet, daran besteht kein Zweifel.
Aber irgendwie ist das Ganze ja ziemlich verwurschtelt.
Was willst Du zeigen? Daß [mm] [-1]_4=[3]_4 [/mm] ist.
Wie geht das? Schau nach, ob die beiden äquivalent sind.
Wann sind sie äquivalent? Wenn sie denselben Rest bei der Division durch 4 lassen. (Alternativ: wenn ihre Differenz ein Vielfaches von 4 ist).
Schau Dir unbedingt Eure Def. für Äquivalenz mod m an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mo 05.11.2007 | | Autor: | froggie |
bei dieser aufgabe war noch die frage, warum
[mm] \overline{z}^{17}=\overline{z}
[/mm]
das soll für jede beliebige z gelten....
für die restklasse [mm] \overline{3} [/mm] is es mir klar....
kann man jetzt sagen, dass die restklasse von 3 keine Zahl sondern eine Menge von zahlen ist und weil sich die Restklasse von 3 sich als produkt von anderen Restklassen darstellen kann diese gleichung von da oben gelten muss?
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> bei dieser aufgabe war noch die frage, warum
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> [mm]\overline{z}^{17}=\overline{z}[/mm]
>
> das soll für jede beliebige z gelten....
Hallo,
ich habe wirklich keinen Überblick darüber, was Du über Restklassen weißt und was nicht.
Ich gehe davon aus, daß die regeln, wie man Restklassen addiert und multipliziert, bekannt sind.
Es ist [mm] \overline{z}^{17}=\overline{z^{17}}.
[/mm]
Daher sagt
[mm] \overline{z}^{17}=\overline{z}:
[/mm]
bei Division durch 17 lassen [mm] z^{17} [/mm] und z denselben Rest.
Beweisen würde ich das per Induktion über z, zuerst für die positiven z, anschließend für die negativen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Jotwie |
Hallo,
Aufgaben sind dazu da, daß man sich selbst darüber Gedanken macht.
Weitere Informationen und Lösungshinweise unter
http://www.mathi.uni-heidelberg.de/phpbb
Mit freundlichem Gruß,
J.B.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mo 05.11.2007 | | Autor: | froggie |
ist [mm] \overline{k+1}= \overline{k}+\overline{1}
[/mm]
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> ist [mm]\overline{k+1}= \overline{k}+\overline{1}[/mm]
Ja, normalerweise ist die Addition in den Restklassen so definiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 05.11.2007 | | Autor: | froggie |
bei induktionsbeweisen, war ich immer ein summenzeichen gewöhnt....
steh deshalb gerade etwas auf dem schlauch
bei induktionsschluss hab ich mal so gestartet
[mm] \overline{k+1} [/mm] ^{ 17} = [mm] \overline{k} [/mm] ^{ 17} * 1 ^{ 17}
liege ich da total falsch?
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> bei induktionsbeweisen, war ich immer ein summenzeichen
> gewöhnt....
> steh deshalb gerade etwas auf dem schlauch
>
> bei induktionsschluss hab ich mal so gestartet
> [mm]\overline{k+1}[/mm] ^{ 17} = [mm]\overline{k}[/mm] ^{ 17} * 1 ^{ 17}
>
> liege ich da total falsch?
Ja, weil es die Potenzregel, die Du da anwendest, nicht gibt.
Seit wann ist denn [mm] (a+b)^n=a^n*b^n [/mm] ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 05.11.2007 | | Autor: | froggie |
^^ du hast recht angela!!!!!
versuche die ganze zeit [mm] \overline{k+1}^{17} [/mm] umzuformen, hat jm einen tipp?
hatte es mit dem hier versucht, komme aber nicht weiter :(
[mm] \overline{k+1}^{17}=\overline{(k+1)^17}=\overline{(k+1)^{-1}}, [/mm] weil [mm] \overline{17} =\overline{-1}
[/mm]
haber dann kann ich gar nicht die induktionsvorraussetzung benutzen hrmpf.........
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> versuche die ganze zeit [mm]\overline{k+1}^{17}[/mm] umzuformen, hat
> jm einen tipp?
Binomischer Satz.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 05.11.2007 | | Autor: | froggie |
hab ich jetzt auch versucht, aber auf dem summenzeichen steht ja eine konkrete Zahl und nicht nur ein k............ es will einfach nicht funktionieren....
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> hab ich jetzt auch versucht, aber auf dem summenzeichen
> steht ja eine konkrete Zahl und nicht nur ein k............
Ja und? Das ist doch viel einfacher. Setz halt die 17 ein.
Zieh den ersten und letzten Summanden heraus und überlege Dir, daß die verbleibenden Binomialkoeffizienten in der Summe allesamt von 17 geteilt werden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mo 05.11.2007 | | Autor: | froggie |
oh man, ich hab nicht daran gedacht einzelne summanden zu betrachten, ich hatte nur versucht den teil hinter der Summe zu vereinfachen...
.... oh man VIELEN LIEBEN DANK!!!!!!!!!!!! hab's kapiert!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Freewalker |
-1 [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 4)
ist ziemlich praktisch wenn man nicht mit so großen Zahlen rechnen will oder Paare finden will (-1, 1; -2, 2)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Mo 05.11.2007 | | Autor: | froggie |
worauf bezieht sich deine Mitteilung?
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