Restglied von Lagrange < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:(-1,\infty) \Rightarrow \IR [/mm] sei durch [mm] f(x):=\bruch{x}{1+x} [/mm] gegeben.
a)
Man finde die allgemeine Formel für die n-te Ableitung von f und beweise diese mittels vollständiger Induktion
b)
Man berechne das Taylorpolynom 2. Grades für den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=2 [/mm] und schätze das Restglied auf dem Intervall [1,3] ab |
Also die Entwicklung und die Induktion sind relativ leicht aber ich verstehe nicht wie ich das Restglied ausrechnen soll mit dem Intervall.
Meine Lösungen bisher sind:
n-te Ableitung: [mm] \bruch{(-1)^{n+1}*n!}{(x+1)^{n+1}}
[/mm]
Taylor Entwicklung: [mm] -\bruch{x^2}{27}+\bruch{7x}{27}+\bruch{8}{27}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mo 21.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Der SATZ VON TAYLOR zeigt Dir doch wie das Restglied aussieht !!!
Schreibs doch mal hin.
FRED
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Also das Restglied wird berechnet mit:
[mm] R_n(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
[/mm]
mit [mm] \xi \in ((x_0,x)\cup(x,x_0))
[/mm]
für [mm] x_0 [/mm] setze ich laut Aufgabenstellung 2 ein.
[mm] R_n(x)=\bruch{f^{(3)}(\xi)}{6}(x-2)^3
[/mm]
für [mm] f^{(3)}=\bruch{6}{(x+1)^3} [/mm] eingestzt entsteht:
[mm] R_n(x)=\bruch{1}{(\xi+1)^3}(x^3-6x^2+12x-8)
[/mm]
Was ist aber jetzt [mm] \xi [/mm] ? Das ist mein Problem das ich nicht verstehe. Und was hat das mit dem Intervall [1,3] zu tun?
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> Also das Restglied wird berechnet mit:
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> [mm]R_n(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}[/mm]
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> mit [mm]\xi \in ((x_0,x)\cup(x,x_0))[/mm]
>
> für [mm]x_0[/mm] setze ich laut Aufgabenstellung 2 ein.
>
> [mm]R_n(x)=\bruch{f^{(3)}(\xi)}{6}(x-2)^3[/mm]
>
> für [mm]f^{(3)}=\bruch{6}{(x+1)^3}[/mm] eingestzt entsteht:
>
> [mm]R_n(x)=\bruch{1}{(\xi+1)^3}(x^3-6x^2+12x-8)[/mm]
>
> Was ist aber jetzt [mm]\xi[/mm] ? Das ist mein Problem das ich nicht
> verstehe.
Von [mm] $\xi$ [/mm] weisst Du, dass es zwischen $2$ und $x$ liegt (und zudem im Intervall $[1;3]$).
> Und was hat das mit dem Intervall [1,3] zu tun?
[mm] $(\xi +1)^3$ [/mm] nimmt seinen kleinsten Wert für [mm] $\xi \in [/mm] [1;3]$ offenbar bei [mm] $\xi [/mm] = 1$ an, d.h. [mm] $(\xi+1)^3\geq 2^3$, [/mm] für [mm] $\xi\in [/mm] [1;3]$.
Der Faktor [mm] $(x^3-6x^2+12x-8)$ [/mm] ist streng monoton wachsend (Ableitung hat doppelte Nullstelle bei $x=2$). Dieser Faktor nimmt somit seinen grössten Betrag (=1) in einem Randpunkt von $[1;3]$ an.
Nun musst Du dies nur noch zu einer Abschätzung des Restgliedes [mm] $R_n(x)$ [/mm] zusammensetzen.
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Vielen Dank. Jetzt versteh ich den Sinn des Restgliedes wirklich.
Dank an: somebody und fred97
vor allem wegen der Geschwindigkeit
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