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| Aufgabe | Berechnen Sie die ersten vier Ableitungen der Funktion
f(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] (\bruch{1+x}{1-x}) [/mm] , x [mm] \in [/mm] (-1,1)
Zeigen Sie weiterhin, dass für alle
x [mm] \in (-\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}}) [/mm] \ {0}
|f(x)-x| < [mm] \bruch{9}{4}x^3 [/mm] gilt.
Benutzen Sie dazu die Lagrangesche Darstellung des Restgliedes R3 in der Taylor-Entwicklung von f an der Stelle x0 = 0 und schätzen Sie dessen Betrag geeignet nach oben ab. |
So, weil ich mittlerweile wirklich nicht mehr weiterkomme, wollte ich hier mal um Rat fragen.
Ich habe die Aufgabe soweit gelöst, dass ich die Ableitungen bestimmt habe und auch das Talyor-Polynom dritten Grades.
Leider bekomm ich es irgendwie nicht hin das lagrangesche Restglied zu bestimmen.
Ich hab zwar die "Formel" dafür gegeben, aber ich kann mir den Parametern nichts anfangen. Bzw. weiß einfach nicht wie ich da rechnen muss.
Ich hoffe irgendjemand kann mir das halbwegs plausibel und schrittweise näher bringen.
Danke schonmal im Voraus!
Hier meine bisherigen Ergebnisse (geprüft und für korrekt befunden):
Die vierte Ableitung:
f''''(x) = [mm] \bruch{24x+24x^3}{(1-x^2)^4}
[/mm]
Das Taylor-Polynom dritten Grades:
t3(x) = [mm] \bruch{1}{3}x^3+x
[/mm]
Und meine komische Formel für das Restglied:
[mm] R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{(n+1)}
[/mm]
Dabei ist mir jetzt im Prinzip Alles bis auf das "c" klar. :)
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sammy2806,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie die ersten vier Ableitungen der Funktion
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln [mm](\bruch{1+x}{1-x})[/mm] , x [mm]\in[/mm] (-1,1)
>
> Zeigen Sie weiterhin, dass für alle
>
> x [mm]\in (-\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}})[/mm] \ {0}
>
> |f(x)-x| < [mm]\bruch{9}{4}x^3[/mm] gilt.
>
> Benutzen Sie dazu die Lagrangesche Darstellung des
> Restgliedes R3 in der Taylor-Entwicklung von f an der
> Stelle x0 = 0 und schätzen Sie dessen Betrag geeignet nach
> oben ab.
> So, weil ich mittlerweile wirklich nicht mehr weiterkomme,
> wollte ich hier mal um Rat fragen.
> Ich habe die Aufgabe soweit gelöst, dass ich die
> Ableitungen bestimmt habe und auch das Talyor-Polynom
> dritten Grades.
> Leider bekomm ich es irgendwie nicht hin das lagrangesche
> Restglied zu bestimmen.
> Ich hab zwar die "Formel" dafür gegeben, aber ich kann
> mir den Parametern nichts anfangen. Bzw. weiß einfach
> nicht wie ich da rechnen muss.
> Ich hoffe irgendjemand kann mir das halbwegs plausibel und
> schrittweise näher bringen.
> Danke schonmal im Voraus!
>
> Hier meine bisherigen Ergebnisse (geprüft und für korrekt
> befunden):
>
> Die vierte Ableitung:
>
> f''''(x) = [mm]\bruch{24x+24x^3}{(1-x^2)^4}[/mm]
>
> Das Taylor-Polynom dritten Grades:
>
> t3(x) = [mm]\bruch{1}{3}x^3+x[/mm]
>
> Und meine komische Formel für das Restglied:
>
> [mm]R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{(n+1)}[/mm]
>
> Dabei ist mir jetzt im Prinzip Alles bis auf das "c" klar.
> :)
>
Jetzt muß Du [mm]f^{\left(n+1\right)}\left(c\right)[/mm] im gegebenen Intervall abschätzen.
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Oh ha! Das war ja mal eine schnelle Antwort. Vielen Dank dafür!
Das mit dem Abschätzen ist wohl genau der Teil, den ich noch nicht so richtig verstanden habe. Bin jetzt auch schon seit einigen Stunden am Mathe machen und hab wahrscheinlich eh schon tausend Dinge durcheinander geworfen!
Was genau will ich mit dem Abschätzen von c erreichen? Soll $ [mm] f^{\left(n+1\right)}\left(c\right) [/mm] $ so groß wie möglich werden, oder verstehe ich das komplett falsch?
Ich bin doch auf der "Suche" nach einer Abschätzung des "Fehlers" zwischen der Ausgangsfunktion und dem Taylor-Polynom, oder?
Vielen Dank schonmal nochmal!
Ich hoffe ich hab das hier Alles richtig gemacht. Mit dem "antworten" und sowas. Scheint ein wenig komplizierter zu sein als die Foren die ich sonst so besuche!
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Hallo sammy2806,
> Oh ha! Das war ja mal eine schnelle Antwort. Vielen Dank
> dafür!
>
> Das mit dem Abschätzen ist wohl genau der Teil, den ich
> noch nicht so richtig verstanden habe. Bin jetzt auch schon
> seit einigen Stunden am Mathe machen und hab wahrscheinlich
> eh schon tausend Dinge durcheinander geworfen!
> Was genau will ich mit dem Abschätzen von c erreichen?
> Soll [mm]f^{\left(n+1\right)}\left(c\right)[/mm] so groß wie
> möglich werden, oder verstehe ich das komplett falsch?
Das verstehst Du schon richtig.
Der Betrag von [mm]f^{\left(n+1\right)}\left(c\right)[/mm] soll so groß wie mögich werden.
Schätze dazu den Nenner nach unten und den Zähler nach oben ab.
> Ich bin doch auf der "Suche" nach einer Abschätzung des
> "Fehlers" zwischen der Ausgangsfunktion und dem
> Taylor-Polynom, oder?
Ja.
>
> Vielen Dank schonmal nochmal!
>
> Ich hoffe ich hab das hier Alles richtig gemacht. Mit dem
> "antworten" und sowas. Scheint ein wenig komplizierter zu
> sein als die Foren die ich sonst so besuche!
Ja, bisher hast Du alles richtig gemacht.
Gruss
MathePower
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> Das verstehst Du schon richtig.
>
> Der Betrag von [mm]f^{\left(n+1\right)}\left(c\right)[/mm] soll so
> groß wie mögich werden.
>
> Schätze dazu den Nenner nach unten und den Zähler nach
> oben ab.
Du redest jetzt von der vierten Ableitung, oder? Dann wird ja logischerweise der Zähler am größten, wenn ich einen größeren Wert einsetzte und der Nenner wir dadurch kleiner.
Heißt das für mich jetzt, dass ich die obere Grenze des Intervalls wähle? Also [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] ?
Dann komme ich am Ende auf:
R3(x) = [mm] \bruch{9\wurzel{3}}{4} \* x^4
[/mm]
Wenn das so richtig ist, dann verstehe ich nicht so recht, wie ich von diesem Ergebnis auf das < [mm] \bruch{9}{4}x^3 [/mm] .
Ich danke auf jeden Fall nochmal für die ganze Hilfe hier!
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Hallo sammy2806,
> > Das verstehst Du schon richtig.
> >
> > Der Betrag von [mm]f^{\left(n+1\right)}\left(c\right)[/mm] soll so
> > groß wie mögich werden.
> >
> > Schätze dazu den Nenner nach unten und den Zähler nach
> > oben ab.
>
> Du redest jetzt von der vierten Ableitung, oder? Dann wird
> ja logischerweise der Zähler am größten, wenn ich einen
> größeren Wert einsetzte und der Nenner wir dadurch
> kleiner.
> Heißt das für mich jetzt, dass ich die obere Grenze des
> Intervalls wähle? Also [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm] ?
> Dann komme ich am Ende auf:
>
> R3(x) = [mm]\bruch{9\wurzel{3}}{4} \* x^4[/mm]
>
> Wenn das so richtig ist, dann verstehe ich nicht so recht,
> wie ich von diesem Ergebnis auf das < [mm]\bruch{9}{4}x^3[/mm] .
Betrachte das Intervall
[mm]x \in (-\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}}) \setminus \ {0} [/mm]
In diesem Intervall gilt
[mm]-\bruch{1}{\wurzel{3}} < x < \bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
Oder umgeformt:[mm]\vmat{\wurzel{3}*x}< 1[/mm]
Dies wurde in der obigen Abschätzung benutzt:
[mm]\vmat{R3(x)} \le \bruch{9\wurzel{3}}{4} \* x^4=\bruch{9}{4}*\vmat{\wurzel{3}*x} \vmat{x^{3}}} < \bruch{9}{4} \vmat{x^{3}}}[/mm]
> Ich danke auf jeden Fall nochmal für die ganze Hilfe
> hier!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Fr 07.01.2011 | | Autor: | sammy2806 |
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> Betrachte das Intervall
>
> [mm]x \in (-\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}}) \setminus \ {0}[/mm]
>
> In diesem Intervall gilt
>
> [mm]-\bruch{1}{\wurzel{3}} < x < \bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> Oder umgeformt:[mm]\vmat{\wurzel{3}*x}< 1[/mm]
>
> Dies wurde in der obigen Abschätzung benutzt:
>
> [mm]\vmat{R3(x)} \le \bruch{9\wurzel{3}}{4} \* x^4=\bruch{9}{4}*\vmat{\wurzel{3}*x} \vmat{x^{3}}} < \bruch{9}{4} \vmat{x^{3}}}[/mm]
Okay, so macht es Sinn!
Vielen Dank für deine Erklärungen und die Mühe!
Lg
Sammy
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