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Hallo,
folgende Aufgabe:
Es seien p und q Polynome über dem Körper K und q [mm] \not= [/mm] 0. Wir setzen [mm] r_{0} [/mm] := p und [mm] r_{1} [/mm] := q. Nach Satz 14 der Vorlesung existieren zwei Polynome [mm] r_{2}, s_{1} \in [/mm] K[x] mit Grad [mm] r_{2} [/mm] < Grad [mm] r_{1} [/mm] und
[mm] r_{0} [/mm] = [mm] s_{1} [/mm] * [mm] r_{1} [/mm] + [mm] r_{2};
[/mm]
ist [mm] r_{2} \not= [/mm] 0, so existieren [mm] s_{2}, r_{3} \in [/mm] K[x] mit Grad [mm] r_{3} [/mm] < Grad [mm] r_{2} [/mm] und
[mm] r_{1} [/mm] = [mm] s_{2} [/mm] * [mm] r_{2} [/mm] + [mm] r_{3} [/mm] usw.
Zeigen Sie:
Es gibt ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] r_{n+1} [/mm] = 0
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Okay - also der Satz 14 sagt ja nichts anderes als dass jedes Polynom darstellbar ist durch die Multiplikation zweier Polynome und der Addition eines dritten dazu (das Restpolynom). Ich soll nun zeigen, dass dieses Restpolynom irgendwann (nach n+1 maliger) Anwendung 0 gibt.
Richtig?
Ich habe keine Idee, wie ich das angehen könnte. Ihr? :) Vielleicht über vollst. Induktion...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Do 13.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
für die Induktion sehe ich keinen wirklichen Ansatzpunkt, da der Körper K alles mögliche sein kann.
Wenn man mal die Grade der verschiedenen [mm] r_{i} [/mm] ' s betrachtet, sollte die Sache klar sein.
Ciao.
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Ja klar - bei jeder "Anwendung" wird der Grad des Restpolynoms kleiner, da ja in der Voraussetzung steht, dass Grad [mm] r_{3} [/mm] < Grad [mm] r_{2} [/mm] - dann muss er ja zwangsläufig 0 werden. Aber so kann ich das ja wohl nicht "hinschreiben". Oder etwa doch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Ich denke das würde als Beweis schon durchgehen. Es ist aber noch etwas schwammig formuliert.
Für q [mm] \in [/mm] K[x] gilt grad(q)=i mit [mm] i\in\IN [/mm] , da q ein beliebiges aber festes Polynom [mm] \not=0 [/mm] über dem Körper K ist.
Somit muss [mm] grad(r_{n})\le [/mm] i-n+1 sein, da
[mm] grad(r_{1})=grad(q)=k\le [/mm] i-n+1=k und
für beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] folgt aus [mm] grad(r_{n-1})\le [/mm] i-n+2 und [mm] grad(r_{n})
die Behauptung [mm] grad(r_{n})\le [/mm] i-n+1. (ist doch eine Induktion geworden :) )
Damit haben wir [mm] r_{i+2}=0, [/mm] weil [mm] grad(r_{i+2})\le [/mm] i-(i+2)+1=-1.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Fr 14.12.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Danke dir. Dann war ich mit meinem Gedanken (Induktion) doch nicht so weit von der Lösung entfernt :)
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