Resiuden bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Di 29.06.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | [mm] f(z)=\frac{z^2+z-1}{z^2(z-1)} [/mm] |
Hallo.
Die Aufgabe ist, die Residuen der Funktion f an allen singulären Stellen zu bestimmen. Ich bin mir bei meiner Lösung nicht ganz sicher und wäre froh, wenn jemand mal drüber schauen könnte.
f hat die singulären Stellen [mm] z_1=0 [/mm] und [mm] z_2=1. [/mm]
[mm] z_2=1 [/mm] ist einfacher Pol. [mm] C_{-1}=lim_{z\to 1} (z-1)f(z)=\frac{1}{3-2}=1
[/mm]
[mm] z_1=0 [/mm] ist Pol der Ordnung k=2. [mm] C_{-1}=lim_{z \to 0} (z^2f(z))\frac{d}{dz}=lim_{z\to 0} (\frac{(z-1)(2z+1)-(z^2+z-1)}{(z-1)^2})=0
[/mm]
Stimmt das so? Fehlt noch etwas?
lg moerni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Di 29.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]f(z)=\frac{z^2+z-1}{z^2(z-1)}[/mm]
> Hallo.
>
> Die Aufgabe ist, die Residuen der Funktion f an allen
> singulären Stellen zu bestimmen. Ich bin mir bei meiner
> Lösung nicht ganz sicher und wäre froh, wenn jemand mal
> drüber schauen könnte.
>
> f hat die singulären Stellen [mm]z_1=0[/mm] und [mm]z_2=1.[/mm]
> [mm]z_2=1[/mm] ist einfacher Pol. [mm]C_{-1}=lim_{z\to 1} (z-1)f(z)=\frac{1}{3-2}=1[/mm]
>
> [mm]z_1=0[/mm] ist Pol der Ordnung k=2. [mm]C_{-1}=lim_{z \to 0} (z^2f(z))\frac{d}{dz}=lim_{z\to 0} (\frac{(z-1)(2z+1)-(z^2+z-1)}{(z-1)^2})=0[/mm]
>
> Stimmt das so? Fehlt noch etwas?
Beides richtig.
Noch ein kleiner Tipp:
[mm] f(z)=\bruch{z^2+z-1}{z^2(z-1)} = \bruch{z^2}{z^2(z-1)} + \bruch{z-1}{z^2(z-1)} = \bruch{1}{z-1} + \bruch{1}{z^2} [/mm].
Da siehst du sofort: Der erste Summand hat nur eine Singularität bei 1 mit Residuum 1, der zweite nur bei 0 mit Residuum 0.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Di 29.06.2010 | | Autor: | moerni |
Super. Vielen Dank für die rasche Antwort!
lg moerni
|
|
|
|
