Residuum mit trig. Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Ronin |
| Aufgabe | Sei [mm] \gamma_N [/mm] der Rand des Quadrats mit den Eckpunkten
(N+1/2)(1+i),(N+1/2)(-1+i),(N+1/2)(-1-i),(N+1/2)(1-i)
Berechnen Sie da Integral
[mm] \integral_{\gamma_N}^{}{f(z) dz} [/mm]
wobei f(z) = [mm] (\pi cot(z\pi))/z² [/mm] |
Hallo
Ich dachte eigentlich dass ich Residuenkalkül verstanden hatte aber die Aufgabe hat mir das Gegenteil bewiesen.
Mein Ansatz war einfach zu sagen dass abhängig vom N verschieden viele Singularitäten innerhalb des Quadrats sind(alle auf der reellen Achse). Wenn ich mich auf N > -1/2 beschränke ist auf jeden fall die 3-fache singularität bei 0 drinn. und dann je nach N eben noch weitere einfache Singularitäten wegen des [mm] sin(z\pi) [/mm] im nenner. Doch schon beim Ausrechnen des Residuums für [mm] z_0 [/mm] = 0 bin ich gescheitert....
habs wie sonst auch mit der Formel probiert ![[]](/images/popup.gif) Formel
Komm aber zu keinem brauchbaren ergebnis weil der sin im nenner stehenbleibt und ich für z ja null einsetzen muss....
Ist mein Ansatz überhaupt zu gebrauchen? Wieso kann ich das Residuum nicht wie sonst berechnen?....
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Di 16.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Ronin,
die Laurententwicklung des Cotangens um z=0 lautet
$$
[mm] \cot [/mm] x = [mm] \frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{3}x [/mm] - [mm] \frac{1}{45}x^3 [/mm] - [mm] \frac{2}{945}x^5 [/mm] - [mm] \dots.
[/mm]
$$
Daher
$$
[mm] \frac{\pi \cot \pi z}{z^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{z^3} [/mm] - [mm] \frac{\pi^2}{3z} -\ldots
[/mm]
$$
und das Residuum an der Stelle z=0 ist [mm] (-\frac{\pi^2}{3}). [/mm] Zu den Residuen an Stellen [mm] z\neq [/mm] 0
trägt dann der erste Term der verschobenen Laurentreihe bei.
Volker
|
|
|
|
![[]](http://upload.wikimedia.org/math/e/e/1/ee1c15ca48982a2bf9e9ed0e7ad90f84.png){kind=small}
Formel