Residuum bestimmen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Di 29.06.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | [mm] f(z)=z^3 cos(\frac{1}{z-2}) [/mm] |
Hallo.
Noch eine Aufgabe zum Thema Residuen bestimmen! Ich soll bei der Funktion f die Residuen an allen singulären Stellen bestimmen.
Ich denke, die einzige singuläre Stelle ist z=2.
Um das Residuum zu bestimmen, habe ich folgenden Ansatz:
[mm] f(z)=z^3 cos(\frac{1}{z-2})=z^3 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n (z-2)^{-2n}}{(2n)!}. [/mm]
In ähnlichen Aufgaben war in der Lösung nun folgende Begründung: Aus der Potenzreihenentwicklung erhält man, dass z=... eine wesentliche Singularität ist und daher res=0
1. Heißt das, wesentliche Singularitäten haben immer Res=0?
2. Ist diese Begründung in meinem Fall auch zutreffend? Wenn ja, wieso?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar,
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Di 29.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]f(z)=z^3 cos(\frac{1}{z-2})[/mm]
> Hallo.
>
> Noch eine Aufgabe zum Thema Residuen bestimmen! Ich soll
> bei der Funktion f die Residuen an allen singulären
> Stellen bestimmen.
>
> Ich denke, die einzige singuläre Stelle ist z=2.
>
> Um das Residuum zu bestimmen, habe ich folgenden Ansatz:
> [mm]f(z)=z^3 cos(\frac{1}{z-2})=z^3 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n (z-2)^{-2n}}{(2n)!}.[/mm]
Die Reihe ist OK, aber du musst [mm] $z^3$ [/mm] auch noch durch Potenzen von $(z-2)$ ausdrücken und dann alle Terme mit Exponent -1 aufsammeln.
> In ähnlichen Aufgaben war in der Lösung nun folgende
> Begründung: Aus der Potenzreihenentwicklung erhält man,
> dass z=... eine wesentliche Singularität ist und daher
> res=0
> 1. Heißt das, wesentliche Singularitäten haben immer
> Res=0?
Nein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 04.07.2010 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank erstmal für die Antwort!
> Die Reihe ist OK, aber du musst [mm]z^3[/mm] auch noch durch
> Potenzen von [mm](z-2)[/mm] ausdrücken und dann alle Terme mit
> Exponent -1 aufsammeln.
Ok, ich versuche das mal:
[mm] z^3 [/mm] = [mm] (z-2)^3 [/mm] +6 [mm] (z-2)^2+12(z-2)+8 (z-2)^0
[/mm]
Also ist [mm] f_2(z)=\sum_{n=0}^\infty (\frac{(-1)^n(z-2)^{-2n+3}}{(2n)!}+\frac{6(-1)^n(z-2)^{-2n+2}}{(2n)!}+\frac{12(-1)^n(z-2)^{-2n+1}}{(2n)!}+\frac{8(-1)^n(z-2)^{-2n}}{(2n)!})
[/mm]
Hast du das so gemeint?
Dann schaue ich mir alle Summanden mit Exponent -1 an:
1. Summand hat für n=2: [mm] \frac{(-1)^2(z-2)^{-4+3}}{4!}=\frac{1}{24}(z-2)^{-1}
[/mm]
2. Summand hat nie Exponent -1
3. Summand hat für n=1: [mm] \frac{12(-1)(z-2)^{-1}}{2}=-6(z-2)^{-1}
[/mm]
4. Summand hat nie Exponent -1
Also: [mm] Res(f_2, 2)=C_{-1}=\frac{1}{24}-6
[/mm]
Stimmt das so oder ist das Quatsch?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!
lg moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank erstmal für die Antwort!
>
>
> > Die Reihe ist OK, aber du musst [mm]z^3[/mm] auch noch durch
> > Potenzen von [mm](z-2)[/mm] ausdrücken und dann alle Terme mit
> > Exponent -1 aufsammeln.
>
>
> Ok, ich versuche das mal:
> [mm]z^3[/mm] = [mm](z-2)^3[/mm] +6 [mm](z-2)^2+12(z-2)+8 (z-2)^0[/mm]
>
> Also ist [mm]f_2(z)=\sum_{n=0}^\infty (\frac{(-1)^n(z-2)^{-2n+3}}{(2n)!}+\frac{6(-1)^n(z-2)^{-2n+2}}{(2n)!}+\frac{12(-1)^n(z-2)^{-2n+1}}{(2n)!}+\frac{8(-1)^n(z-2)^{-2n}}{(2n)!})[/mm]
>
> Hast du das so gemeint?
> Dann schaue ich mir alle Summanden mit Exponent -1 an:
> 1. Summand hat für n=2:
> [mm]\frac{(-1)^2(z-2)^{-4+3}}{4!}=\frac{1}{24}(z-2)^{-1}[/mm]
> 2. Summand hat nie Exponent -1
> 3. Summand hat für n=1:
> [mm]\frac{12(-1)(z-2)^{-1}}{2}=-6(z-2)^{-1}[/mm]
> 4. Summand hat nie Exponent -1
> Also: [mm]Res(f_2, 2)=C_{-1}=\frac{1}{24}-6[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 So 04.07.2010 | | Autor: | moerni |
Super! Vielen Dank!
moerni
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