Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Sa 15.06.2013 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | Guten Abend! Ich soll das Residuum von [mm] $f(z)=exp(1/z)+\bruch{1}{z}$ [/mm] bestimmen. |
Leider hat der Versuch $f$ als Reihe um $0$ darzustellen nicht geklappt...
Hat jemand eine Idee?
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Ersetze in der Reihenentwicklung von [mm] e^x [/mm] das x durch 1/x. Dann addiere zum Koeffizienten von 1/x dieser Reihe noch 1 (vom 2. Summanden in exp(1/x)+1/x).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Sa 15.06.2013 | | Autor: | saendra |
Hi HJKweseleit!
Also so wie ich es schon probiert habe: [mm] $\bruch{1}{z}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(1/z)^n}{n!}$
[/mm]
Tut mir sehr leid, ich verstehe nicht ganz, was du mit: Dann addiere zum Koeffizienten von 1/x dieser Reihe noch 1 (vom 2. Summanden in exp(1/x)+1/x).
meinst 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:52 So 16.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi HJKweseleit!
>
> Also so wie ich es schon probiert habe:
> [mm]\bruch{1}{z}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(1/z)^n}{n!}[/mm]
>
> Tut mir sehr leid, ich verstehe nicht ganz, was du mit:
> Dann addiere zum Koeffizienten von 1/x dieser Reihe noch 1
> (vom 2. Summanden in exp(1/x)+1/x).
>
> meinst
Es ist $ [mm] \bruch{1}{z}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(1/z)^n}{n!} $=\bruch{1}{z}+1+\bruch{1}{z}+\sum_{n=2}^\infty \frac{(1/z)^n}{n!} =1+\bruch{2}{z}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(1/z)^n}{n!} [/mm]
Kannst Du jetzt das Residuum ablesen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 So 16.06.2013 | | Autor: | saendra |
Danke! Ich weiß nicht ob es mir am Verständnis fehlt, aber nein...
Am Ende muss ja alles in allem die Form da stehen: [mm] $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n [/mm] $
Hmm aber hier:
$ [mm] \dots =\bruch{1}{z}+1+\bruch{1}{z}+\sum_{n=2}^\infty \frac{(1/z)^n}{n!} =1+\bruch{2}{z}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(1/z)^n}{n!} [/mm] $
mir ist nicht ganz klar, warum [mm] \sum_{n=2}^\infty \frac{(1/z)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(1/z)^n}{n!}
[/mm]
[mm] $1+\bruch{2}{z}+\sum_{n=2}^\infty\frac{(z^{-1})^n}{n!}=1+\bruch{2}{z}+\sum_{n=-\infty}^{-2}\frac{1}{(-n)!}z^n=?$
[/mm]
Bleibt immer noch das Problem mit den 2 Summanden außerhalb der eigentlichen Reihe.
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Du musst doch die (Taylor-)Reihenentwicklung von f(z) finden und daraus das Residuum ablesen. Das Residuum ist der Faktor, der zum Glied 1/z gehört.
Manche Funktionen beginnen mit dem Nullten Glied, wie z.B. [mm] e^z=1+z+z^2/2+... [/mm] Das kann man dann ergänzen mit [mm] ...+0*1/z+0*1/z^2+0*1/z^3 [/mm] ..., und deshalb ist das Residuum 0.
Hier hast du nun [mm] e^{1/z}=1+1/z+1/z^2/2+...
[/mm]
Hinzu kommt nun noch 1/z:
[mm] e^{1/z}+1/z=(1+1/z+1/z^2/2+...) [/mm] + 1/z = [mm] 1+2/z+1/z^2/2+...
[/mm]
Alle anderen Terme, auch die Reihendarstellung und deren Schreibweise usw. sind völlig unwichtig, entscheidend ist nur, dass nun der Summand mit z im Nenner den Koeffizienten 2 hat. Und das ist das Residuum.
Die "herausgeschriebenen" Summanden sind nicht "außerhalb der Reihe", sondern nur explizit hingeschrieben, weil sie betrachtet werden müssen. Die Reihe geht dann weiter mit dem Summenzeichen und dem Index 2. Da nun in der Reihe alle anderen Summanden den Koeffizienten 1 haben, dürfte es schwierig sein, die Ausnahme 2/z in die Summenformel einzubauen. Wenn man aber wieder nur ...+1/z hinter die Reihe schreibt, sieht man nicht, dass der Summand von 1/z der Gesamtfunktion den Koeffizienten 2 haben muss.
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