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Hallo,
ich muss einige Residuuen berechnen, und ich verstehe das Prinzip nicht so richtig.
[mm] \bruch{z^2 + z + 5}{z(z^2 + 1)^2}, [/mm] das soll ich die Aufgabe lösen in allen isolierten Singularitäten.
bei z = 0 ist da ja der Pol, müssen dann auch noch Pole bei i und -i sein? In welcher Ordnung sind diese Pole?
Woran erkenne ich, ob diese Pole die Ordnung 1 haben?
Desweiteren habe ich Probleme die Residuuen von [mm] cos(\bruch{1-z}{1}) [/mm] und [mm] cos(\bruch{z}{1-z}), [/mm] muss ich da mit Additionstheoremen arbeiten? Oder wie bestimme ich dort die Residuuen.
Es wäre wirklich nett, wenn mir jemand etwas helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Mi 23.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ja, bei i und -i sind Pole. Mal salopp, einfach gesagt sind Pole Nullstellen des Nenners. Das heisst um die Pole zu finden, musst du die Nullstellen des Nenners bestimmen.
Zu der Def. der Pole:
Wikipedia: "z0 heißt Polstelle oder Pol, wenn z0 keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl k gibt, sodass eine hebbare Singularität bei z0 hat. Ist das k minimal gewählt, dann sagt man, f habe in z0 einen Pol k-ter Ordnung. "
Bei Cosinus und Sinus würde ich mit der Reihenentwicklung arbeiten.
Ich schau jetzt Fussball!
Gruss
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hmm,
ok danke.
sind dann [mm] z_1 [/mm] = 0, [mm] z_2 [/mm] = i und [mm] z_3 [/mm] = -i jeweils nur einfache Polstellen? Ich muss dieses wissen, um die richtige Formel zu benutzen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Do 24.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Du hast Polstellen verschiedener Ordnung, wenn du den Zähler aufteilst, d.h. jeden Summand des Zählers einzeln durch den Nenner dividierst.
Zeig mal deine Überlegungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Do 24.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Du hast Polstellen verschiedener Ordnung, wenn du den
> Zähler aufteilst, d.h. jeden Summand des Zählers einzeln
> durch den Nenner dividierst.
.................... und was soll das bringen .............?
FRED
>
> Zeig mal deine Überlegungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Do 24.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Sorry,
Ich war in Gedanken bei den Laurententwicklungen mit Partialbruchzerlegung und so zeugs...
Lieber Gruss Qsxqsx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Do 24.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Der Nenner Deiner Funktion sieht so aus:
(*) [mm] $z(z^2+1)^2= z(z-i)^2(z+i)^2$
[/mm]
Allgemein gilt: f hat in [mm] z_0 [/mm] einen Pol der Ordnung p [mm] \gdw [/mm] 1/f hat in [mm] z_0 [/mm] eine hebbare Singularität und [mm] z_0 [/mm] ist eine p-fache Nullstelle von 1/f
Aus (*) kannst Du nun ablesen, dass Deine oben vorgelegte Funktion in 0 einen einfachen Pol hat und in i und -i jeweils einen 2 -fachen
FRED
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