Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Es geht um das Residuum in der komplexen Analysis. Die Berechnung über das Integral,... ist alles relativ gar kein Problem. Aber was hat das Residuum für eine anschauliche Bedeutung? Ist das sowas wie eine Umlaufzahl oder was hat man sich darunter vorzustellen?
Vielen Dank schon mal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Stell Dir vor, Du hast eine in [mm] \IC [/mm] offene Menge D, einen Punkt [mm] $z_0 \in [/mm] D$ und eine Funktion f:D \ { [mm] z_0 [/mm] } [mm] \to \IC [/mm] holomorph. Dann hat f um [mm] z_0 [/mm] die Laurententwicklung
(*) $f(z)= [mm] \summe_{n= - \infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ [/mm] für [mm] $0<|z-z_0|
wobei r>0 so gewählt ist, dass [mm] $\{z \in \IC: |z-z_0|
Sei nun 0<R<r und [mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] z_0+Re^{it}$ [/mm] ($t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$)
[/mm]
Für n [mm] \ne [/mm] -1 hat die Funktion $z [mm] \to a_n(z-z_0)^n$ [/mm] eine Stammfunktion auf D \ { [mm] z_0 [/mm] }, also ist
$ [mm] \integral_{\gamma}^{}{a_n(z-z_0)^n dz}=0$ [/mm] für n [mm] \ne [/mm] -1
Wenn Du nun mit (*) das Integral $ [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}$ [/mm] berechnest, erhäst Du
$ [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}= \integral_{\gamma}^{}{a_{-1}*\bruch{1}{z} dz}= a_{-1}* [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i = Res(f; [mm] z_0)* [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i$
Das Residuum von f in [mm] z_0 [/mm] ist also (bis auf den Faktor $2 [mm] \pi [/mm] i$) der Rest der bleibt, wenn Du f integrierst.
Residuum (Plural Residuen; lateinisch): Rückstand, Rest, Bodensatz.
FRED
|
|
|
| |
|
> Stell Dir vor, Du hast eine in [mm]\IC[/mm] offene Menge D, einen
> Punkt [mm]z_0 \in D[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und eine Funktion f:D \ { [mm]z_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\to \IC[/mm]
> holomorph. Dann hat f um [mm]z_0[/mm] die Laurententwicklung
>
> (*) [mm]f(z)= \summe_{n= - \infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm]
> für [mm]0<|z-z_0|
>
> wobei r>0 so gewählt ist, dass [mm]\{z \in \IC: |z-z_0|
>
> Sei nun 0<R<r und [mm]\gamma(t) = z_0+Re^{it}[/mm] ([mm]t \in [0, 2 \pi][/mm])
>
> Für n [mm]\ne[/mm] -1 hat die Funktion [mm]z \to a_n(z-z_0)^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine
> Stammfunktion auf D \ { [mm]z_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, also ist
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{a_n(z-z_0)^n dz}=0[/mm] für n [mm]\ne[/mm] -1
>
> Wenn Du nun mit (*) das Integral
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}[/mm] berechnest, erhäst Du
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}= \integral_{\gamma}^{}{a_{-1}*\bruch{1}{z} dz}= a_{-1}* 2 \pi i = Res(f; z_0)* 2 \pi i[/mm]
>
>
> Das Residuum von f in [mm]z_0[/mm] ist also (bis auf den Faktor [mm]2 \pi i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
)
> der Rest der bleibt, wenn Du f integrierst.
>
> Residuum (Plural Residuen; lateinisch): Rückstand, Rest,
> Bodensatz.
>
> FRED
Vielen Dank für die Antwort. Ich habe es an sich verstanden und jetzt verstehe ich endlich auch die Wortbedeutung :)
Ich habe allerdings noch eine Rückfrage wegen deiner Aussage, dass f(z)=\frac{1}{z-z_0} keine Stammfunktion auf D \ { [mm]z_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} habe. Sie hat doch eine Stammfunktion, nämlich F(z)=\log(z-z_0)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Stell Dir vor, Du hast eine in [mm]\IC[/mm] offene Menge D, einen
> > Punkt [mm]z_0 \in D[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> und eine Funktion f:D \ { [mm]z_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> } [mm]\to \IC[/mm]
> > holomorph. Dann hat f um [mm]z_0[/mm] die Laurententwicklung
> >
> > (*) [mm]f(z)= \summe_{n= - \infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm]
> > für [mm]0<|z-z_0|
> >
> > wobei r>0 so gewählt ist, dass [mm]\{z \in \IC: |z-z_0|
> >
> > Sei nun 0<R<r und [mm]\gamma(t) = z_0+Re^{it}[/mm] ([mm]t \in [0, 2 \pi][/mm])
>
> >
> > Für n [mm]\ne[/mm] -1 hat die Funktion [mm]z \to a_n(z-z_0)^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> eine
> > Stammfunktion auf D \ { [mm]z_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> }, also ist
> >
> > [mm]\integral_{\gamma}^{}{a_n(z-z_0)^n dz}=0[/mm] für n [mm]\ne[/mm] -1
> >
> > Wenn Du nun mit (*) das Integral
> > [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}[/mm] berechnest, erhäst Du
> >
> > [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}= \integral_{\gamma}^{}{a_{-1}*\bruch{1}{z} dz}= a_{-1}* 2 \pi i = Res(f; z_0)* 2 \pi i[/mm]
> >
> >
> > Das Residuum von f in [mm]z_0[/mm] ist also (bis auf den Faktor [mm]2 \pi i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> )
> > der Rest der bleibt, wenn Du f integrierst.
> >
> > Residuum (Plural Residuen; lateinisch): Rückstand, Rest,
> > Bodensatz.
> >
> > FRED
>
> Vielen Dank für die Antwort. Ich habe es an sich
> verstanden und jetzt verstehe ich endlich auch die
> Wortbedeutung :)
>
> Ich habe allerdings noch eine Rückfrage wegen deiner
> Aussage, dass f(z)=\frac{1}{z-z_0} keine Stammfunktion auf
> D \ { [mm]z_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> } habe. Sie hat doch eine Stammfunktion, nämlich
> F(z)=\log(z-z_0)
Nein. Der Einfachheit halber sei $z_0 =0$. $f(z)= 1/z$ ist holomorph auf G:= \IC \ { 0 }
Der Hauptzweig des Logarithmus Log(z) ist zwar auf G definiert, aber auf der negativen reellen Achse noch nicht einmal stetig, somit auch nicht holomorph !!!
Hätte $f(z)= 1/z$ ist holomorph auf G eine Stammfunktion, so wäre
$ \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z} dz}=0 $
( \gamma wie oben) und damit könntest Du die ganze wunderschöne Funktionentheorie (komplexe Analysis) in die Mülltonne treten.
Gott sei Dank ist es nicht so, sondern
$ \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z} dz}=2 \pi i $
FRED
|
|
|
|
