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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Mo 22.09.2008 | | Autor: | gnom |
| Aufgabe | | [mm]\integral_{|z|=5}^{} \bruch{e^z}{cosh z}\, dz [/mm] |
Hallo,
kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Man weiß, dass [mm]cosh z= 1/2(e^{iz}+e^{-iz})= cos iz[/mm]
Der Hyperbel Cosinus hat Nullstellen bei [mm]\bruch{(2k+1)\pi i}{2}[/mm]
daraus folgen die einfachen Pole [mm]+ \bruch{i\pi}{2}[/mm], [mm]-\bruch{i\pi}{2}[/mm],[mm] +\bruch{3i\pi}{2}[/mm], [mm]-\bruch{3i\pi}{2}[/mm]
Hier verstehe ich nicht aus welcher Gleichung ich die Nullstellen berechenen kann.
Und ich weiß auch nicht wie man auf die Pole hier kommt.
Als nächstes muss man die Residuen berechnen.
[mm]res(f,\bruch{i\pi}{2})= \limes_{z \to \bruch{i\pi}{2} } \bruch{(z-\bruch{i\pi}{2})e^z}{cosh z}= \bruch{e^\bruch{i\pi}{2}}{cosh'\bruch{i\pi}{2}}=\bruch{i}{-i sin
(-\pi/2)}=1[/mm]
Hier verstehe ich nicht wie man von
[mm]\limes_{z \to \bruch{i\pi}{2} } \bruch{(z-\bruch{i\pi}{2})e^z}{cosh z}= \bruch{e^\bruch{i\pi}{2}}{cosh'\bruch{i\pi}{2}}[/mm] kommt.
Und wie man von:
[mm]\bruch{e^\bruch{i\pi}{2}}{cosh'\bruch{i\pi}{2}}=\bruch{i}{-i sin
(-\pi/2)}[/mm] kommt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Disap |
Hi.
> [mm]\integral_{|z|=5}^{} \bruch{e^z}{cosh z}\, dz[/mm]
> Hallo,
>
> kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?
>
> Man weiß, dass [mm]cosh z= 1/2(e^{iz}+e^{-iz})= cos iz[/mm]
>
> Der Hyperbel Cosinus hat Nullstellen bei [mm]\bruch{(2k+1)\pi i}{2}[/mm]
>
> daraus folgen die einfachen Pole [mm]+ \bruch{i\pi}{2}[/mm],
> [mm]-\bruch{i\pi}{2}[/mm],[mm] +\bruch{3i\pi}{2}[/mm], [mm]-\bruch{3i\pi}{2}[/mm]
> Hier verstehe ich nicht aus welcher Gleichung ich die
> Nullstellen berechenen kann.
Das weiß ich leider auch nicht.
> Und ich weiß auch nicht wie man auf die Pole hier kommt.
>
>
> Als nächstes muss man die Residuen berechnen.
>
> [mm]res(f,\bruch{i\pi}{2})= \limes_{z \to \bruch{i\pi}{2} } \bruch{(z-\bruch{i\pi}{2})e^z}{cosh z}= \bruch{e^\bruch{i\pi}{2}}{cosh'\bruch{i\pi}{2}}=\bruch{i}{-i sin
(-\pi/2)}=1[/mm]
>
> Hier verstehe ich nicht wie man von
> [mm]\limes_{z \to \bruch{i\pi}{2} } \bruch{(z-\bruch{i\pi}{2})e^z}{cosh z}= \bruch{e^\bruch{i\pi}{2}}{cosh'\bruch{i\pi}{2}}[/mm]
> kommt.
Ist dir denn klar, warum z -> i [mm] \pi [/mm] /2?
Bei dem Ding wird nur die Regel von L'Hospital angewandt, du darfst hier Zähler und Nenner einmal ableiten.
> Und wie man von:
>
> [mm]\bruch{e^\bruch{i\pi}{2}}{cosh'\bruch{i\pi}{2}}=\bruch{i}{-i sin
(-\pi/2)}[/mm]
> kommt.
Weil gilt [mm] e^{i\pi / 2} [/mm] = i und die Ableitung von cosh ist einfach -i*sin
Das sind einfach nur stupide Rechenregeln.
Hast du nur den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen oder fehlt dir da ein bisschen das Wissen? Dann frag einfach noch mal.
MfG
Disap
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mo 22.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{|z|=5}^{} \bruch{e^z}{cosh z}\, dz[/mm]
> Hallo,
>
> kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?
>
> Man weiß, dass [mm]cosh z= 1/2(e^{iz}+e^{-iz})= cos iz[/mm]
Hier geht einiges durcheinander.
Es ist [mm] 1/2(e^{iz}+e^{-iz}) [/mm] = cos z,
d.h. : [mm] 1/2(e^{z}+e^{-z}) [/mm] = cos iz = cosh z
Also : cosh z = 0 [mm] \gdw [/mm] cos iz = 0 [mm] \gdw [/mm] iz = [mm] (k+1/2)\pi [/mm] (k [mm] \in \IZ)
[/mm]
Wenn Ihr schon beim Residuensatz seid, dann habt Ihr sicher gelernt, dass für W [mm] \in \IC [/mm] gilt: cos w = 0 [mm] \gdw [/mm] w = [mm] (k+1/2)\pi [/mm] (k [mm] \in \IZ)
[/mm]
FRED
>
> Der Hyperbel Cosinus hat Nullstellen bei [mm]\bruch{(2k+1)\pi i}{2}[/mm]
>
> daraus folgen die einfachen Pole [mm]+ \bruch{i\pi}{2}[/mm],
> [mm]-\bruch{i\pi}{2}[/mm],[mm] +\bruch{3i\pi}{2}[/mm], [mm]-\bruch{3i\pi}{2}[/mm]
> Hier verstehe ich nicht aus welcher Gleichung ich die
> Nullstellen berechenen kann.
>
> Und ich weiß auch nicht wie man auf die Pole hier kommt.
>
>
> Als nächstes muss man die Residuen berechnen.
>
> [mm]res(f,\bruch{i\pi}{2})= \limes_{z \to \bruch{i\pi}{2} } \bruch{(z-\bruch{i\pi}{2})e^z}{cosh z}= \bruch{e^\bruch{i\pi}{2}}{cosh'\bruch{i\pi}{2}}=\bruch{i}{-i sin
(-\pi/2)}=1[/mm]
>
> Hier verstehe ich nicht wie man von
> [mm]\limes_{z \to \bruch{i\pi}{2} } \bruch{(z-\bruch{i\pi}{2})e^z}{cosh z}= \bruch{e^\bruch{i\pi}{2}}{cosh'\bruch{i\pi}{2}}[/mm]
> kommt.
>
> Und wie man von:
>
> [mm]\bruch{e^\bruch{i\pi}{2}}{cosh'\bruch{i\pi}{2}}=\bruch{i}{-i sin
(-\pi/2)}[/mm]
> kommt.
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