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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe bekommen und komm dabei auf keinen grünen Zeig, da ich nirgendwo was brauchbares zum Residuensatz gefunden hab. Die Aufgabe:
Berechnen Sie die folgende Integrale mit Hilfe des Residuentensatzes:
a) [mm] \integral_{b}^{a} [/mm] { [mm] \bruch{x+1}{(x^2+1)(x^2+pi^2)} [/mm] dx}
b) [mm] \integral_{b}^{a} [/mm] { [mm] \bruch{x+1}{(x^2+1)(x^2+4)} [/mm] dx}
a= [mm] \infty [/mm]
b=- [mm] \infty
[/mm]
wäre echt klasse, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: eMath.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Do 03.02.2005 | | Autor: | Max |
Kennst du jetzt den Residuensatz oder nicht?
Falls ja:
Der Trick besteht erstmal schon darin, dass du nicht die gegebenen Integrale sondern Integrale über eine geschlossene Kurve, die alle Singularitäten der Funktion im Inneren hat bestimmst. Zum Beispiel kannst du erstmal von $-r$ bis $+r$ auf der Realachse gehen und dann in einem Halbkreis zurück. Später nimmt man $r [mm] \to \infty$. [/mm] Den Wert des Integrals entlang des Halbkreises ist für $r [mm] \to \infty$ [/mm] dann $0$. (Ist dir klar warum?) Damit erhälst du, dass dein gesuchtest Integral gleich ist mit dem Integral über die geschlossene Kurve. Jetzt noch das Integral mit dem Residuensatz berechnen und fertig.
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