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'n Abend!
Ich habe das komplexe Integral [mm] \integral_{\gamma}{}{\bruch{1}{z} dz}, \gamma:\alpha(t)=t*e^{2\pi*t}, 1\le t\le2 [/mm] OHNE Residuensatz berechnet und erhalte als Ergebnis [mm] ln(2)+i2\pi [/mm] !
Nun soll ich das mit Hilfe des Residuensatzes erklären. Nur seh ich da ein Problem:
[mm] \gamma:\alpha(t)=t*e^{2\pi*t}
[/mm]
ist KEINE geschlossene Kurve. Der Die Kurve fängt bei x=1 an, und endet bei x=2, somit nicht zusammenhängend. Und da fängt's schon mal an kompliziert zu werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie kann ich mit Hilfe des Residuensatzes dieses Integral lösen???
Ich hoffe, jemand kann mir dabei helfen.
Gruß, h.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 So 18.11.2007 | | Autor: | Braunstein |
Könnte man hier folgende Erklärung abgeben:
Da die Kurve nicht geschlossen ist, gilt nicht die Cauchy'sche Integralformel mit [mm] \integral_{geschlossen}^{}{f(z) dz}=0 [/mm] (bei holomorphen Funktionen), dh das Kurvenintegral ergibt in diesem Fall einen Wert. Und da (hier) das Kurvenintegral "eine" Singularität beinhaltet, nämlich auf beim Schnittpunkt Kurve/neg.-x-Achse, ist auch [mm] i2\pi [/mm] Teil des Ergebnisses.
Ist diese Aussage korrekt?
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Ich hab's jetzt nicht weiter durchgerechnet, wollte aber anmerken, dass du die Kurve sehr leicht zu einer geschlossenen ergänzen kannst, indem du das fehlende Geradenstücke noch anhängst. Vielleicht hilft das? Das Integral entlang der Gerade wäre ja sehr einfach zu berechnen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:01 So 18.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hi
> Ich hab's jetzt nicht weiter durchgerechnet, wollte aber
> anmerken, dass du die Kurve sehr leicht zu einer
> geschlossenen ergänzen kannst, indem du das fehlende
> Geradenstücke noch anhängst. Vielleicht hilft das? Das
> Integral entlang der Gerade wäre ja sehr einfach zu
> berechnen...
Genau, that's the trick... :)
LG Felix
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Vielen Dank für die Infos.
Ich habe versucht die Kurve zu schließen. Bin folgend vorgegangen:
[mm] \integral_{geschlossen}^{}{f(z) dz}=\integral_{\gamma_{1}}^{}{f(z) dz}+\integral_{\gamma_{2}}^{}{f(x) dx}=i2\pi*\summe_{}^{}Res[f(z)]
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma_{1}}^{}{f(z) dz}=i2\pi*\summe_{}^{}Res[f(z)]-\integral_{\gamma_{2}}^{}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma_{1}}^{}{f(z) dz}=i2\pi*\limes_{z\rightarrow z_{0}z*\bruch{1}{z}-\integral_{2}}^{1}{f(t) dt}=i2\pi*\limes_{z\rightarrow z_{0}}z*\bruch{1}{z}-\integral_{2}^{1}{\bruch{1}{t} dt}=i2\pi+ln(2) [/mm] , [mm] 1\le t\le2, \gamma_{2}=t
[/mm]
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Sollte nun meiner Meinung nach passen. Da ich aber das erste Mal so etwas gemacht habe, bitte ich euch um ein Ja/Nö/Vielleicht (ob richtig oder nicht).
Danke im Voraus.
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 So 18.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Braunstein,
das ist schon richtig so und häufig kann man mit dieser art der wegergänzung sich eine Menge unangenehme Rechnerei sparen. Es hängt natürlicg davon ab, wie kompliziert das "abzuziehende Wegstück" ist. Diese Methode wird beispielsweise gerne angewandt bei der Rücktransformation einer Laplace-Transformierten in den Zeitbereich.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 So 18.11.2007 | | Autor: | Braunstein |
Ja vielen Dank für die Antwort!
Das wollt ich hören! Mit der Ergänzung hast du in der Hinsicht recht (hab mir Gedanken darüber gemacht). Man erspart sich wirklich viel Rechnerei und vor allem Zeit (das wichtigste in der Mathematik ist wohl die Kürze, denn dort liegt ja bekanntlich die Würze )
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