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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 So 09.07.2017 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Sei f in [mm] \ID [/mm] holomorph bis auf isolierte Singularitäten. Zeige:
(i) Ist f gerade, d.h. f(-z)=f(z), dass gilt [mm] res_{z}f=-res_{-z}f [/mm] für alle [mm] z\in \ID; [/mm] insbesondere [mm] res_{0}f=0
[/mm]
(ii) Ist f ungerade, d.h. f(-z)=-f(z), dass gilt [mm] res_{z}f=res_{-z}f [/mm] für alle [mm] z\in \ID [/mm] |
Moin zusammen, für (i) hab ich folgenden Beweis gestrickt, geht das so oder hat sich da der Fehlerteufel eingeschlichen?
Sei [mm] \gamma: t\in[0,2\pi] \to z+e^{it} [/mm] eine konkrete Parametrisierung und berachte zunächst
[mm] res_z(f)=\integral_{\gamma}^{}f(z)dz=\integral_{0}^{2\pi}f(z+e^{it})dz
[/mm]
Benutzt man nun für [mm] res_{-z} [/mm] eine andere Parametrisierung z.B.: [mm] \gamma: t\in[0,2\pi] \to -z-e^{it} [/mm] so erhält man:
[mm] res_{-z}(f)
[/mm]
[mm] =\integral_{\gamma}^{}f(z)dz
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}f(-z-e^{it})*-ie^{it}dz
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}f(z+e^{it})*-ie^{it}dz, [/mm] da f gerade
[mm] =-\integral_{0}^{2\pi}f(z+e^{it})*ie^{it}dz
[/mm]
[mm] =-res_z(f)
[/mm]
Für (ii) würde ich den Beweis bis zu dieser Stelle völlig analog machen ..... [mm] =\integral_{0}^{2\pi}-f(z+e^{it})*-ie^{it}dz, [/mm] da f ungerade
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}f(z+e^{it})*ie^{it}dz
[/mm]
[mm] =res_z(f)
[/mm]
Kann ich das so machen? LG und einen sonnigen Nachmittag
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> Sei f in [mm]\ID[/mm] holomorph bis auf isolierte Singularitäten.
> Zeige:
>
> (i) Ist f gerade, d.h. f(-z)=f(z), dass gilt
> [mm]res_{z}f=-res_{-z}f[/mm] für alle [mm]z\in \ID;[/mm] insbesondere
> [mm]res_{0}f=0[/mm]
>
> (ii) Ist f ungerade, d.h. f(-z)=-f(z), dass gilt
> [mm]res_{z}f=res_{-z}f[/mm] für alle [mm]z\in \ID[/mm]
> Moin zusammen, für
> (i) hab ich folgenden Beweis gestrickt, geht das so oder
> hat sich da der Fehlerteufel eingeschlichen?
>
> Sei [mm]\gamma: t\in[0,2\pi] \to z+e^{it}[/mm] eine konkrete
> Parametrisierung und berachte zunächst
>
> [mm]res_z(f)=\integral_{\gamma}^{}f(z)dz=\integral_{0}^{2\pi}f(z+e^{it})dz[/mm]
So kannst du das nicht schreiben: links bei [mm] res_z(f) [/mm] ist z ein fester Punkt, im Integral aber eine Variable, die um diesen Punkt kreisen soll, und im letzten Integral muss es auch dt statt dz heißen.
Besser:
[mm]res_z(f)=\integral_{\gamma}^{}f(p)dp=\integral_{0}^{2\pi}f(z+e^{it})dt[/mm]
> Benutzt man nun für [mm]res_{-z}[/mm] eine andere Parametrisierung
> z.B.: [mm]\gamma: t\in[0,2\pi] \to -z-e^{it}[/mm] so erhält man:
>
> [mm]res_{-z}(f)[/mm]
> [mm]=\integral_{\gamma}^{}f(z)dz[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}f(-z-e^{it})*-ie^{it}dz[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}f(z+e^{it})*-ie^{it}dz,[/mm] da f gerade
> [mm]=-\integral_{0}^{2\pi}f(z+e^{it})*ie^{it}dz[/mm]
> [mm]=-res_z(f)[/mm]
Die letzte Gleichheit besteht sicherlich nicht, denn du hast - anders als beim Integral von [mm] res_z(f) [/mm] - einen Zusatzfaktor [mm] ie^{it}.
[/mm]
>
>
> Für (ii) würde ich den Beweis bis zu dieser Stelle
> völlig analog machen .....
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}-f(z+e^{it})*-ie^{it}dz,[/mm] da f
> ungerade
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}f(z+e^{it})*ie^{it}dz[/mm]
> [mm]=res_z(f)[/mm]
>
>
> Kann ich das so machen? LG und einen sonnigen Nachmittag
Vielleicht kommst du so weiter:
[mm]res_{-z}(f)=\integral_{0}^{2\pi}f(-z+e^{it})dt[/mm]
[mm] \alpha:=t-\pi [/mm] mit [mm] d\alpha [/mm] = dt:
...= [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}f(-z+e^{i\alpha + i\pi})d\alpha[/mm]= [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}f(-z+e^{i\alpha}*e^{ i\pi})d\alpha[/mm]= [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}f(-z+e^{i\alpha}*(-1))d\alpha[/mm]=[mm]\integral_{-\pi}^{\pi}f(-z-e^{i\alpha})d\alpha[/mm]=...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mo 10.07.2017 | | Autor: | fred97 |
Hallo Schobbi, hallo HJKWeseleit,
ist $ [mm] \gamma: t\in[0,2\pi] \to z+e^{it} [/mm] $, so ist
$ [mm] res_z(f)=\integral_{\gamma}^{}f(z)dz=\integral_{0}^{2\pi}f(\gamma(t))\gamma'(t)dt=\integral_{0}^{2\pi}f(z+e^{it})ie^{it}dt [/mm] $
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Danke Fred! Habe gepennt, hätte ich merken müssen, kam nämlich selber beim letzten Schritt nicht weiter. Damit wird dann alles klar.
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