Rentenrechnung und Äquivalenzprinzip < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 20.06.2004 | | Autor: | Josef |
Finanzmathematik ist "Neuland" für mich und ich wage mich nur vorsichtig in dieses Fachgebiet.
Ich habe z.B. Schwierigkeiten bei der Anwendung des Äquivalenzprinzips. Schwierigkeiten bereiten mir auch, auf welchen Bewertungsstichtag die betreffenden Renten bezogen werden sollen; ob es sich um eine nachschüssige oder vorschüssige Rentenzahlung handelt.
Meine Überlegungen zu folgender Aufgabe führen nicht zum richtigen Lösungsergebnis von 311.474,95 Euro.
Aufgabe:
Witwe Huber verkauft ihr Haus, um ins Altenheim zu ziehen. Der Käufer zahlt vereinbarungsgemäß - beginnend 01.01.06 - jährlich 24.000 Euro für 25 Jahre. Im Februar des Jahres 10 kommen ihr Bedenken. Sie möchte keine weiteren Ratenzahlungen mehr, sondern den äquivalenten Gegenwert aller jetzt noch ausstehenden Zahlungen lieber auf einmal am 01.01.13 erhalten. Der Käufer willig ein.
Welchen Betrag kann Witwe Huber zum 01.01.13 erwarten (7 % p.a.)?
Mein Lösungsweg:
Ich habe mir zuerst einen Zahlenstrahl über den Rentenzahlungszeitraum aufgestellt; beginnend mit 01.01.06 bis einschließlich 01.01.30 = für 25 Jahre.
Als Bewertungstichtag nehme ich 01.01.30.
Da nichts anderes angegeben ist, unterstelle ich nachschüssige Rentezahlung.
Vom 01.01.06 bis 01.01.10 werden 5 Raten zu je 24.000 Euro gezahlt. Der Rest der Rente wird 7 Jahre nach Begin der jährlichen Raten (01.01.06) am 01.01.13 fällig.
Der Rentenzeitwert (-barwert) [mm] K_7 [/mm] am 01.01.13 ergibt sich durch Abzinsen von [mm]R_{25}[/mm] um 18 Jahre.
Rentenbarwert am 01.01.13:
24.000*[mm]\bruch{1,07^{25} -1}{1,07-1}[/mm]*[mm]\bruch{1}{1,07^{18}}[/mm] =
24.000 * 63,24903772*[mm]\bruch{1}{3,379932276}[/mm] = 449.114,59
Auf diesen Rentenbarwert habe ich die bisherigen geleisteten Ratenzahlungen vom 01.01.06 bis 01.01.10 angerechnet. Das sind 5 Raten zu je 24.000 Euro.
Der Rentenendwert dieser Ratenzahlungen beträgt zum 01.01.10:
24.000*[mm]\bruch{1,07^{5}-1}{1,07-1}[/mm] =
24.000*5,75073901 = 138.017,74 Euro.
Rentenbarwert zum 01.01.13= 449.114,59
Rentenendwert zum 01.01.10= 138.017,74
noch zu erwartender Betrag= 311.096,85
Wo liegt der Fehler?
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Hallo Josef!
> Aufgabe:
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> Witwe Huber verkauft ihr Haus, um ins Altenheim zu ziehen.
> Der Käufer zahlt vereinbarungsgemäß - beginnend 01.01.06 -
> jährlich 24.000 Euro für 25 Jahre. Im Februar des Jahres 10
> kommen ihr Bedenken. Sie möchte keine weiteren
> Ratenzahlungen mehr, sondern den äquivalenten Gegenwert
> aller jetzt noch ausstehenden Zahlungen lieber auf einmal
> am 01.01.13 erhalten. Der Käufer willig ein.
>
> Welchen Betrag kann Witwe Huber zum 01.01.13 erwarten (7 %
> p.a.)?
> Mein Lösungsweg:
> Ich habe mir zuerst einen Zahlenstrahl über den
> Rentenzahlungszeitraum aufgestellt; beginnend mit 01.01.06
> bis einschließlich 01.01.30 = für 25 Jahre.
Gut!
> Als Bewertungstichtag nehme ich 01.01.30.
> Da nichts anderes angegeben ist, unterstelle ich
> nachschüssige Rentezahlung.
Hm. Die Formulierung in der Aufgabenstellung legt nahe, dass vorschüssig gezahlt wird, denn der Ratenzahlungsbeginn ist direkt der 01.01.06.
> Vom 01.01.06 bis 01.01.10 werden 5 Raten zu je 24.000 Euro
> gezahlt. Der Rest der Rente wird 7 Jahre nach Begin der
> jährlichen Raten (01.01.06) am 01.01.13 fällig.
> Der Rentenzeitwert (-barwert) [mm]K_7[/mm] am 01.01.13 ergibt sich
> durch Abzinsen von [mm]R_{25}[/mm] um 18 Jahre.
Dieser Ansatz ist OK.
> Rentenbarwert am 01.01.13:
>
> 24.000*[mm]\bruch{1,07^{25} -1}{1,07-1}[/mm]*[mm]\bruch{1}{1,07^{18}}[/mm]
> =
>
> 24.000 * 63,24903772*[mm]\bruch{1}{3,379932276}[/mm] = 449.114,59
Bei nachschüssiger Zahlung stimmt es so. Bei vorschüssiger Zahlung ergibt sich aber
[mm]24000\,\left( \frac{1.07^{26}-1}{1.07-1} -1\right)\cdot\frac{1}{1,07^{18}}[/mm]
(bzw. multipliziere Deinen Betrag einfach mit 1.07, um auf das gleiche Ergebnis zu kommen.)
> Auf diesen Rentenbarwert habe ich die bisherigen
> geleisteten Ratenzahlungen vom 01.01.06 bis 01.01.10
> angerechnet. Das sind 5 Raten zu je 24.000 Euro.
>
> Der Rentenendwert dieser Ratenzahlungen beträgt zum
> 01.01.10:
>
> 24.000*[mm]\bruch{1,07^{5}-1}{1,07-1}[/mm] =
>
> 24.000*5,75073901 = 138.017,74 Euro.
Richtig. hier hast Du aber mit vorschüssigen Zahlungen gerechnet. Die erste Rate wird ja vier Jahre verzinst, die letzte wurde gerade gezahlt (am 01.01.10, zu dem Du ja auch bewertest).
> Rentenbarwert zum 01.01.13= 449.114,59
> Rentenendwert zum 01.01.10= 138.017,74
> noch zu erwartender Betrag= 311.096,85
Hm. Du solltest keine Barwerte zu unterschiedlichen Zeitpunkten miteinander vergleichen, sondern immer den selben Bewertungszeitpunkt zu Grunde legen. Also nimm den Betrag zum 01.01.10 und rechne ihn hoch auf den Zeitpunkt 01.01.13. Wenn Du dann die Differenz bildest (mit obiger vorschüssiger Zahlungsweise), sollte es hinkommen.
Falls nicht, melde Dich noch mal.
Viele Grüße
Brigitte
> Wo liegt der Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo Birgitte,
vielen Dank für deine Hilfe.
Du hast recht. Mit vorschüssige Rentenzahlung muss gerechnet werden.
> Auf diesen Rentenbarwert habe ich die bisherigen
> geleisteten Ratenzahlungen vom 01.01.06 bis 01.01.10
> angerechnet. Das sind 5 Raten zu je 24.000 Euro.
>
> Der Rentenendwert dieser Ratenzahlungen beträgt zum
> 01.01.10:
>
> 24.000*[mm]\bruch{1,07^{5}-1}{1,07-1}[/mm] =
>
> 24.000*5,75073901 = 138.017,74 Euro.
Richtig. hier hast Du aber mit vorschüssigen Zahlungen gerechnet. Die erste Rate wird ja vier Jahre verzinst, die letzte wurde gerade gezahlt (am 01.01.10, zu dem Du ja auch bewertest).
> Rentenbarwert zum 01.01.13= 449.114,59
> Rentenendwert zum 01.01.10= 138.017,74
> noch zu erwartender Betrag= 311.096,85
Hm. Du solltest keine Barwerte zu unterschiedlichen Zeitpunkten miteinander vergleichen, sondern immer den selben Bewertungszeitpunkt zu Grunde legen. Also nimm den Betrag zum 01.01.10 und rechne ihn hoch auf den Zeitpunkt 01.01.13. Wenn Du dann die Differenz bildest (mit obiger vorschüssiger Zahlungsweise), sollte es hinkommen.
Falls nicht, melde Dich noch mal.
Viele Grüße
Brigitte
> Wo liegt der Fehler?
Ich habe jetzt wie folgt gerechnet:
Rentenendwert zum 1.1.10 = 138.017,74.
Dieser Wert wird bis zum 1.1.13, also 3 Jahre zu 7 % verzinst (Zinseszins). Es werden ja keine weiteren Raten gezahlt.
[mm] 138.017,74*1,07^3= [/mm] 169.077,67
Differenz zwischen 480.552,61 und 169.077,67 = 311.474,94
Ist der Ansatz jetzt so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Josef!
> Ich habe jetzt wie folgt gerechnet:
>
>
> Rentenendwert zum 1.1.10 = 138.017,74.
> Dieser Wert wird bis zum 1.1.13, also 3 Jahre zu 7 %
> verzinst (Zinseszins). Es werden ja keine weiteren Raten
> gezahlt.
>
> [mm]138.017,74*1,07^3=[/mm] 169.077,67
>
> Differenz zwischen 480.552,61 und 169.077,67 = 311.474,94
>
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> Ist der Ansatz jetzt so richtig?
Ich denke schon, jedenfalls sehe ich keinen Fehler! Super ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") !!!
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Hallo Josef,
so stimmt es jetzt. Prima!
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Viele Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo Brigtte und julius,
vielen Dank !
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