Rencontres Problem < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Di 30.06.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | | Es gibt n Tanzpaare. Den n Damen werden zufällig n Männer zugeteilt. Wie groß - unter geeigneter Laplace-Annahme - ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Dame ihren eigenen Partner bekommen. |
Hallo,
ich habe das Problem, die Herleitung der Rencontres-Formel nicht zu verstehen... es setzt an einer bestimmten Stelle aus. Ich versuche mal mein Verständnis der Aussage aus der Literaur gegenüberzustellen. Wer meinen Denkfehler entdeckt möge sich bitte melden :)
Buch:
Wir haben einen Ergebnissmenge Ω mit n! Permutationen.
Ich:
Ja, denn für den ersten Mann gibt es n Möglichkeiten, für den zweiten (n-1) usw., also n! Möglichkeiten zur Verteilung der Männer.
Buch:
Das Ereignis [mm] A_{i} [/mm] bedeutet "i-te Dame tanzt mit ihrem eigenen Partner", i = 1, ..., n
Ich:
Ich hätte stattdessen das Ereignis "Keine Dame tanzt mit ihrem eigenen Mann" genommen... aber ok, ich kann damit leben.
Edit: Um (1 - Gegenereignis) zu rechnen
Buch:
Für jedes i besteht die Menge [mm] A_{i} [/mm] aus allen Permutationen, die die Zahl i fest lassen; sie enthält also (n-1)! Permutationen. Es gilt daher:
[mm] P(A_{i}) [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{n!}=\bruch{1}{n}
[/mm]
Ich:
Würde die Frage lauten: Wir hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Dame mit ihrem Mann tanzt, wäre die Antwort [mm] \bruch{1}{n}(, [/mm] nicht wahr?)
Buch:
Entsprechend erhalten wir für paarweise verschiedene Indizes i,j, k:
[mm] P(A_{i} \cap A_{j}) [/mm] = [mm] \bruch{(n-2)!}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n(n-1)}
[/mm]
[mm] P(A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}) [/mm] = = [mm] \bruch{(n-3)!}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n(n-1)(n-2)}
[/mm]
[mm] P(A_{i} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{j}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n!}
[/mm]
Ich:
[mm] P(A_{i} \cap A_{j}) [/mm] bedeutet doch, "Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder die i-te UND die j-te Dame mit ihrem Mann tanzt".
Buch:
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "mindestens eine Dame tanzt mit ihre eigenen Mann" ist damit:
[mm] P(A_{1} \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{n}) [/mm] = ... (führt dann zur Rencontres-Formel)
Ich:
Ich verstehe nicht, warum es reicht, wenn man nach der Wahrscheinlichkeit dafür sucht, dass entweder die erste Dame ODER die zweite Dame ODER die dritte Dame... usw. mit ihrem eigenen Mann tanzt. Gehören da nicht noch die Fälle dazu, in denen zum Beispiel die erste UND zweite Dame mit ihrem Mann tanzen? Denn dann ist es ja auch mindestens eine Paar, das gleich bleibt.
lg,
magics
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Hiho,
> Ich hätte stattdessen das Ereignis "Keine Dame tanzt mit ihrem eigenen Mann" genommen... aber ok, ich kann damit leben.
Ich aber auch 
> Würde die Frage lauten: Wir hoch ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Dame mit ihrem Mann
> tanzt, wäre die Antwort [mm]\bruch{1}{n}(,[/mm] nicht wahr?)
Nein.
Du hast ja eben ausgerechnet: [mm] $P(A_i) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$.
[/mm]
[mm] A_i [/mm] ist aber nicht die Wahrscheinlichkeit "Nur Frau i tanzt mit ihrem Mann" (was immer noch was anderes wäre als "genau eine Dame"), sondern [mm] "A_i [/mm] tanzt mit ihrem Mann".
Was mit den anderen Frauen passiert, spielt dabei keine Rolle.
Mach dir mal klar, dass "Genau eine Frau tanzt mit Ihrem Mann" der folgenden Menge A entsprechen würde:
$A = [mm] \bigcup_{i=1}^n \left(A_i \cap \bigcap_{j\not=i} A_j^c\right)$
[/mm]
> [mm]P(A_{i} \cap A_{j})[/mm] bedeutet doch, "Die Wahrscheinlichkeit
> dafür, dass entweder die i-te UND die j-te Dame mit ihrem Mann tanzt".
Was soll denn "Entweder.... und..." für eine Formulierung sein?
Ich kenne nur "Entweder.... oder..." und "....und...".
Dazwischen gibt es nichts.
In diesem Fall ist es wirklich "und", was mathematisch gesehen bedeutet wie "sowohl als auch", d.h. beides muss gelten.
In diesem Kontext hier also: "Sowohl Frau i als auch Frau j tanzen mit ihren jeweiligen Partnern."
>
> Buch:
> Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "mindestens eine
> Dame tanzt mit ihre eigenen Mann" ist damit:
> [mm]P(A_{1} \cup[/mm] ... [mm]\cup A_{n})[/mm] = ... (führt dann zur
> Rencontres-Formel)
> Ich:
> Ich verstehe nicht, warum es reicht, wenn man nach der
> Wahrscheinlichkeit dafür sucht, dass entweder die erste
> Dame ODER die zweite Dame ODER die dritte Dame... usw. mit
> ihrem eigenen Mann tanzt. Gehören da nicht noch die Fälle
> dazu, in denen zum Beispiel die erste UND zweite Dame mit
> ihrem Mann tanzen? Denn dann ist es ja auch mindestens eine
> Paar, das gleich bleibt.
Und hier wieder nicht aufgepasst bei den Definitionen, denn: [mm] $A\cup [/mm] B$ ist eben nicht ein "entweder...., oder....", sondern ein "oder".
Und ein "oder" enthält eben auch die Möglichkeit des "und".
Ein "entweder...., oder..." wäre eben [mm] "$(A\cup B)\setminus (A\cap [/mm] B) =: [mm] A\Delta [/mm] B$", d.h. "A oder B ohne A und B gleichzeitig"
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 01.07.2015 | | Autor: | magics |
Hallo Gono,
erstmal vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast zu antworten!
Ich habe noch Rückfragen zu deiner Antwort.
Mach dir mal klar, dass "Genau eine Frau tanzt mit Ihrem Mann" der folgenden Menge A entsprechen würde:
$ A = [mm] \bigcup_{i=1}^n \left(A_i \cap \bigcap_{j\not=i} A_j^c\right) [/mm] $
Mh... ich habe das mal ausführlich aufgeschrieben, um mir der Bedeutung klar zu werden:
$ A = [mm] \bigcup_{i=1}^n \left(A_i \cap \bigcap_{j\not=i} A_j^c\right) [/mm] $ = [mm] (A_1 \cap A_2^c \cap A_3^c \cap [/mm] ... [mm] \cap A_n^c) \cup (A_2 \cap A_1^c \cap A_3^c \cap [/mm] ... [mm] \cap A_n^c) \cup [/mm] ... [mm] \cup (A_n \cap A_1^c \cap A_2^c \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n-1}^c) [/mm]
Umgangssprachlich also: Die Menge aller Ereignisse bei denen genau eine Dame mit ihrem Mann tanzt und alle anderen Damen nicht mit ihrem Mann tanzen mit [mm] \cup [/mm] vereinigt. Nun hast du aber (richtig) erklärt (ich habe nochmal nachgeschlagen ;), dass die Vereinigung [mm] \cup [/mm] mit einem ODER gleichzusetzen ist, das kein Exklusive OR ist und damit auch die UND-Verbindung meinen kann.
Die Erklärung macht für die Gleichung
P("mindestens eine Dame tanzt mit ihrem Mann") = [mm] P(A_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup A_n)
[/mm]
absolut Sinn.
Für die Aussage
P("Genau eine Frau tanzt mit Ihrem Mann" = $ A = [mm] \bigcup_{i=1}^n \left(A_i \cap \bigcap_{j\not=i} A_j^c\right) [/mm] $
macht sie in meinen Augen jedoch keinen, weil man dort zwar alle einzelnen Ereignisse, bei denen jeweils nur eine Dame mit ihrem Mann tanzt mit [mm] \cup [/mm] verbindet. Damit hätte man so etwas wie:
[mm] (A_1 \cap A_2^c \cap A_3^c \cap [/mm] ... [mm] \cap A_n^c) [/mm] ODER [mm] (A_2 \cap A_1^c \cap A_3^c \cap [/mm] ... [mm] \cap A_n^c)
[/mm]
wäre gültig
[mm] (A_1 \cap A_2^c \cap A_3^c \cap [/mm] ... [mm] \cap A_n^c) [/mm] UND [mm] (A_2 \cap A_1^c \cap A_3^c \cap [/mm] ... [mm] \cap A_n^c)
[/mm]
wäre aber auch gültig und da hätten wir aber zwei Damen, die mit ihrem Mann tanzen.
Ich vermute, dass ich irgendwie auf dem Holzweg bin, das letztgenannte schon alleine durch die Tatsache, dass die Gegenereignisse sich gegenseitig ausstechen würden gar nicht geht... aber ich hätte gerne dein "Ja, so ist es", um ganz sicher zu sein :)
lg
magics
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Hiho,
> [mm](A_1 \cap A_2^c \cap A_3^c \cap[/mm] ... [mm]\cap A_n^c)[/mm] UND [mm](A_2 \cap A_1^c \cap A_3^c \cap[/mm]
> ... [mm]\cap A_n^c)[/mm]
> wäre aber auch gültig und da hätten
> wir aber zwei Damen, die mit ihrem Mann tanzen.
grundsätzlich gut aufgepasst.
Aber der Gono ist nicht doof und daher solltest du dir klar machen, dass UND ja dem Schnitt entspricht und obiger Schnitt einfach leer ist. D.h. das Ereignis tritt nie ein.
Denn: Links ist ja [mm] A_1 [/mm] drin und recht [mm] A_1^C [/mm] und damit gilt:
[mm](A_1 \cap A_2^c \cap A_3^c \cap\ldots\cap A_n^c)\cap (A_2 \cap A_1^c \cap A_3^c \cap \ldots\cap A_n^c) \subseteq A_1 \cap A_1^c = \emptyset[/mm]
> Ich vermute, dass ich irgendwie auf dem Holzweg bin, das
> letztgenannte schon alleine durch die Tatsache, dass die
> Gegenereignisse sich gegenseitig ausstechen würden gar
> nicht geht... aber ich hätte gerne dein "Ja, so ist es",
> um ganz sicher zu sein :)
Na das hast du jetzt ja.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Do 02.07.2015 | | Autor: | magics |
Ich danke dir!
Einen sonnigen Tag!
lg,
magics
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