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Hallo zusammen
Ich weiss, aber vermute stark, dass ihr den Begriff "relative Änderungsrate" kennt.
Hierbei gilt es:
[mm] x(t)=Ae^{rt}, [/mm] x'(t)=rx(t), [mm] x(0)=x_0 <=>x(t)=x_0e^{rt}
[/mm]
Nun habe ich die folgende Aufgabe:
Nehmen Sie an, dass das Grundkapital K(t) eines Unternehmens die Differentialgleichung K'(t)=I-pK(t) erfüllt, wobei die Investition I konstant ist und pK(t) bezeichnet die Abschreibung, wobei p eine positive Konstante ist.
a)Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung, wenn das Grundkapital zur Zeit t=0 gleich [mm] K_0 [/mm] ist.
Also ist ja [mm] K(t)=K_0e^{-pt}
[/mm]
Doch wie komm ich auf die Lösung von [mm] K(t)=(K_0-\bruch{I}{p})e^{-pt}+\bruch{I}{p}
[/mm]
Vielen Dank schonma für eure grosse Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein deine Lösung [mm] $K(t)=K_0 e^{-pt}$ [/mm] wäre die Lösung der sog. komogenen Dgl
K'(t)=-p*K(t)
nun hast du aber ne inhomogene Dgl, d.h. ausser K'und K ist da noch die Konstante I
ein speziele lösung dieser Gleichung wäre, dass K(t)=const=C K'=0
das setzt man in die Dgl ein und bestimmt C
0=-p*C+I folgt C=I/p
die Gesamte lösung der Dgl ist dann die Lösung der homogenen + dies spezielle Lösung der inhomogenen. also [mm] K(t)=A*e^{-pt}+I/p
[/mm]
wenn man noch A bestimmt aus [mm] K(0)=K_0
[/mm]
hat man eingesetzt [mm] K(0)=K_0=A*e^0+I/p [/mm] oder [mm] A=K_0-I/p
[/mm]
dann erst bist du, nach einseten von A fertig.
Gruss leduart
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Hey vielen Dank. Jedoch sind mir diese Begriffe wie homogen usw. in diesem Zusammenhang fremd...allgemein ist mir diese Aufgabe nicht logisch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist daran nicht logisch? homogen heisst ne Dgl wenn nue die fkt. und ihre Ableitungen vorkommen, Inhomogen, wenn noch was anderes, vei dir I vorkommt, konnte aber auch ne andere Funktion von t sein.
Natürlich kannst du nicht in einem post alles über Dgl lernen. >ich hab versucht, dir zu sagen, wie man das schrittweise macht. Wenn du nur so allgemein auf das eingehst, ist es nicht möglich , dazu noch was zu sagen.
"unlogisch" weiss nicht was homogen ist. wozu gibts wiki oder Bücher?
Wenn ihr die Aufgabe habt, müsst ihr doch irgendwas in der richtung gemacht haben? Es bleivt auch die möglichkeit, das Ergebnis einfach in die Dgl einzuserten, um festzustellen dass es stimmt.
gruss leduart
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Ok vielen Dank.
Ich habe da eine ähnliche Aufgabe, jedoch stimmt bei meiner Lösung etwas nicht.
Ich soll die Lösung folgender Gleichung bestimmen wenn N(0)=0:
N'(t)=k(P-N(t)) dabei ist k eine positive Konstante.
So wie du es mir erklärt hast, hab ich C bestimmt nämlich C=P
Und A aus [mm] Ae^{rt}+P [/mm] hab ich auch bestimmt. A=-P
Wenn ich alles schlussendlich einsetze erhalte ich: [mm] P(1-e^{kt})
[/mm]
Richtig wäre jedoch [mm] P(1-e^{-kt})....
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die homogene gleichung ist hier
N'=-k*N mit der Lösung [mm] N(t)=Ce^{-k*t} [/mm] wie in der vorigen aufgabe.
der inhomogene teil ist kP
eine lösung der inh. ist dann N=P (N'=0)
die Gesamtlösung also [mm] N(t)=P+Ce^{-k*t}
[/mm]
mit N(0)=0 folgt C=-P.
also [mm] N(t)=P-Pe^{-k*t}=P(1-e^{-k*t})
[/mm]
du hast also nur einen Vorzeichen fehler. solange man das noch nicht gut kann, sollte man immer die probe machen, aus dem gefundenen N N' ausrechnen, beides in die Dgl einsetzen und überprüfen ob es stimmt.
gruss leduart
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Ich habe ja geschrieben, N'(t)=k(P-N(t))
Doch du schreibst N'=-kN wie kommst du darauf?
Wenn ich meinen N(t) mit dem falschen Vorzeichen ableite erhalte ich,
[mm] -Pke^{kt}. [/mm] Wo soll ich das nun einsetzen?
P muss ja auch wie ne Konstante behandelt werden oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Sa 18.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Ich habe ja geschrieben, N'(t)=k(P-N(t))
>
> Doch du schreibst N'=-kN wie kommst du darauf?
Die Dgl. lautet ausmultipliziert
[mm] N'(t)=-k\cdot{N(t)}+k\cdot{P}
[/mm]
Die homogene Dgl. lautet (die rechte Seite nur mit den Anteilen die N(t) enthalten)
[mm] N'(t)=-k\cdot{N(t)} [/mm] die Lösung dieser Gleichung ist [mm] N(t)=c\cdot{e^{-k*t}}
[/mm]
mit N(t)=P (konstant) erhälst Du eine Lösung der inhomogenen Dgl. Homogrn + inhomogene Lösung ergibt die allgmeine Lösung.
> Wenn ich meinen N(t) mit dem falschen Vorzeichen ableite
> erhalte ich,
> [mm]-Pke^{kt}.[/mm] Wo soll ich das nun einsetzen?
>
>
> P muss ja auch wie ne Konstante behandelt werden oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Sa 18.12.2010 | | Autor: | blackkilla |
Ok deine Erklärung machts mir noch nbisschen klarer. :D Vielen Dank euch beiden, hab die Aufgabe! :)
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