Relative Extrema mit NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 Fr 07.08.2009 | | Autor: | LowBob |
| Aufgabe | | Bestimmen und Charakterisieren Sie die relativen Extrema der Funktion [mm] f(x;y)=x^2+y^2 [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] 2x^2+3y^2=1 [/mm] |
Hallo,
ich kenne nur das Lagrange Multiplikatorverfahren um Extrema unter Nebenbedingungen zu ermitteln. Und da kommt bei mir immer nur 0 raus. Und zwar für alles wie man ja auch schon leicht an der Gleichung erkennt.
Hat einer ne Idee??
Danke
LG Bob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Fr 07.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LowBob!
Was meinst Du bei insgesamt 3 unterschiedlichen Variablen mit "kommt immer Null heraus"? Ich erhalte hier unterschiedliche Lösungen für $x_$ und $y_$ .
Bitte poste Deine Zwischenschritte zur Kontrolle.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Fr 07.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo
Also, wie bereits beschrieben kenne ich nur Lagrange um sowas zu lösen.
HB: [mm] f(x;y)=x^2+y2
[/mm]
NB: [mm] 2x^2+3y^2=1 [/mm] -> [mm] 2x^2+3y^2-1=0
[/mm]
[mm] F(x;y;\lambda)=x^2+y^2+\lambda\*(2x^2+3y^2-1)
[/mm]
Partielle Ableitungen
[mm] F_x=2x+4\lambda{x}=0
[/mm]
[mm] F_y=2y+6\lambda{y}=0
[/mm]
[mm] F_\lambda= 2x^2+3y^2-1=0
[/mm]
Und aus denen sollte ich doch jetzt Werte für x und y gewinnen oder?
Ich habe keine Idee mehr wie das funktionieren soll...
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Fr 07.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LowBob!
Die erste Gleichung z.B. wird doch genau dann gleich Null, wenn $x \ = \ 0$ oder [mm] $\lambda [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] .
Setze dies nun mal (jeweils getrennt) in die anderen beiden Gleichungen ein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Fr 07.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo Loddar,
auch auf die Gefahr hin mich hier als total unbegabt zu outen...
Wenn ich in die letzte Gleichung x=0 einsetze bekomme ich [mm] y=\wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] Ist das nun ein Extremwert?
Analog für y?
Also [mm] \lambda [/mm] =-1/3
y=0 -> [mm] x=\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Wenn ich [mm] \lambda [/mm] in die zweite Gleichung einsetze bekomme ich [mm] 2y(1+3\*-0,5)=0 [/mm] -> 2y(-1/2)=0 -> -y=0
Was mir das sagen soll, weiß ich nicht :-(
Und wie Charakterisiere ich die Extrema?
Grüße
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Hallo LowBob,
> Hallo Loddar,
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> auch auf die Gefahr hin mich hier als total unbegabt zu
> outen...
>
> Wenn ich in die letzte Gleichung x=0 einsetze bekomme ich
> [mm]y=\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm] Ist das nun ein Extremwert?
Die quadratische Gleichung [mm]3*y^{2}=1[/mm] hat zwei Lösungen:
[mm]y=\pm\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> Analog für y?
>
> Also [mm]\lambda[/mm] =-1/3
>
> y=0 -> [mm]x=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
Auch hier: [mm]x=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
Das sind jetzt alles Kandidaten für mögliche Extrema.
>
> Wenn ich [mm]\lambda[/mm] in die zweite Gleichung einsetze bekomme
> ich [mm]2y(1+3\*-0,5)=0[/mm] -> 2y(-1/2)=0 -> -y=0
>
> Was mir das sagen soll, weiß ich nicht :-(
>
> Und wie Charakterisiere ich die Extrema?
Die Extrema charakterisierst Du in der Regel über die Hessematrix.
Hier wird allerdings eine Entscheidung über die Funktionswerte zu treffen sein.
Gruss
MathePower
>
> Grüße
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