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Hallo,
ist diese Relation eine Äquivalenzrelation?
M = {a,b,c,d}
R = {(a,a),(b,b),(c,c)(d,d)}
Ja, weil reflexiv, symmetrisch und transitiv
transitiv trifft zu weil es kein Paar (x,y) gibt bei dem x [mm] \not= [/mm] y ist.
Aber ist diese Relation nicht auch Antisymmetrisch, schadet das der Äquivalenz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ist diese Relation eine Äquivalenzrelation?
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> M = {a,b,c,d}
>
> R = {(a,a),(b,b),(c,c)(d,d)}
>
> Ja, weil reflexiv, symmetrisch und transitiv
Stimmt.
> transitiv trifft zu weil es kein Paar (x,y) gibt bei dem x
> [mm]\not=[/mm] y ist.
> Aber ist diese Relation nicht auch Antisymmetrisch,
Ja
> schadet das der Äquivalenz?
Nein.
FRED
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Die hier ist vermutlich auch Äquivalent, oder?
M = {a,b,c,d}
R = {M [mm] \times [/mm] M}
R = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),
(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),
(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),
(d,a),(d,b),(d,c),(d,d)}
reflexiv, symmetrisch
zu transitiv: das hier ist transitiv richtig: (a,b),(b,a),(a,a) ?
dann würde ich sagen das ist auch eine Äquivalenzrelation, diesmal wegen (a,b),(b,a) aber nicht Antisymmetrisch.
Passt das?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Die hier ist vermutlich auch Äquivalent, oder?
Hallo,
es ist eine Äquivalenzrelation auf M.
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> M = {a,b,c,d}
> R = {M [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M}
> R = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),
> (b,a),(b,b),(b,c),(b,d),
> (c,a),(c,b),(c,c),(c,d),
> (d,a),(d,b),(d,c),(d,d)}
>
> reflexiv, symmetrisch
> zu transitiv: das hier ist transitiv
Ja, die Relation ist transitiv.
> zu transitiv: das hier ist transitiv richtig:
> (a,b),(b,a),(a,a) ?
Ich verstehe nicht, was Du hier sagen oder fragen willst.
> dann würde ich sagen das ist auch eine
> Äquivalenzrelation,
Ja.
> diesmal wegen (a,b),(b,a) aber nicht
> Antisymmetrisch.
Sie ist nicht antisymmetrisch, das stimmt.
"wegen (a,b), (b,a)" verstehe ich nicht. Da fehlt etwas, um dem Ganzen einen Sinn einzuhauchen.
LG Angela
> Passt das?
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> > zu transitiv: das hier ist transitiv richtig:
> > (a,b),(b,a),(a,a) ?
>
> Ich verstehe nicht, was Du hier sagen oder fragen willst.
Da (a,b) und (b,a) da sind vervollständigt das Tupel (a,a) die transitivität für die beiden Tupel, richtig?
Ich Frage weil hierbei ja x = z ist, was aber laut Skript nicht verboten ist.
> > diesmal wegen (a,b),(b,a) aber nicht
> > Antisymmetrisch.
>
> Sie ist nicht antisymmetrisch, das stimmt.
>
> "wegen (a,b), (b,a)" verstehe ich nicht. Da fehlt etwas, um
> dem Ganzen einen Sinn einzuhauchen.
Dadurch das das Tupel (a,b) enthalten ist und das Tupel (b,a) ist die Antisymmetrie verletzt.
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> > > zu transitiv: das hier ist transitiv richtig:
> > > (a,b),(b,a),(a,a) ?
> >
> > Ich verstehe nicht, was Du hier sagen oder fragen willst.
>
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> Da (a,b) und (b,a) da sind vervollständigt das Tupel (a,a)
> die transitivität für die beiden Tupel, richtig?
Hallo,
es gibt keine "Transitivität für Tupel", sondern eine relation ist transitiv oder eben nicht.
In der Tat sind bei Deiner Relation (a,b), (b,a) und auch (a,a) in der Relation.
Um Transitivität von R bedeutet aber:
Für alle x,y,z [mm] \in [/mm] M gilt: wenn (x,y) und (y,z) beide in R sind, dann ist auch (x,z) in R.
Es reicht nicht, wenn es für einen speziellen Satz von Tupeln klappt.
Zu prüfen ist, ob es für alle in R vorhandenen Tupel stimt, bei denen die zweite Komponente des einen die erste des anderen ist.
Du mußt also sämtliche Kombinationen prüfen - oder Dir einen überzeugenden Grund einfallen lassen, warum das immer gelten muß.
Merke: wenn Du etwas beweisen sollst, reicht es nicht, ein Beispiel zu finden, bei dem es funktioniert.
> Ich Frage weil hierbei ja x = z ist, was aber laut Skript
> nicht verboten ist.
Was nicht verboten ist, ist erlaubt...
Halte Dich an die Definitionen. Dort steht nicht, daß [mm] x\not=z [/mm] gefordert ist.
> > > diesmal wegen (a,b),(b,a) aber nicht
> > > Antisymmetrisch.
> >
> > Sie ist nicht antisymmetrisch, das stimmt.
> >
> > "wegen (a,b), (b,a)" verstehe ich nicht. Da fehlt etwas, um
> > dem Ganzen einen Sinn einzuhauchen.
>
> Dadurch das das Tupel (a,b) enthalten ist und das Tupel
> (b,a) ist die Antisymmetrie verletzt.
Genau.
Zum Widerlegen einer Aussage reicht ein einziges Gegenbeispiel.
Du hast eins gefunden, damit ist die Antisymmetrie nicht erfüllt - selbst wenn bei allen anderen Tupeln das "umgekehrte" nicht in der Relation wäre.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Sa 14.01.2012 | | Autor: | studentxyz |
> Hallo,
>
> es gibt keine "Transitivität für Tupel", sondern eine
> relation ist transitiv oder eben nicht.
>
> In der Tat sind bei Deiner Relation (a,b), (b,a) und auch
> (a,a) in der Relation.
> Um Transitivität von R bedeutet aber:
> Für alle x,y,z [mm]\in[/mm] M gilt: wenn (x,y) und (y,z) beide in
> R sind, dann ist auch (x,z) in R.
> Es reicht nicht, wenn es für einen speziellen Satz von
> Tupeln klappt.
> Zu prüfen ist, ob es für alle in R vorhandenen Tupel
> stimt, bei denen die zweite Komponente des einen die erste
> des anderen ist.
>
> Du mußt also sämtliche Kombinationen prüfen - oder Dir
> einen überzeugenden Grund einfallen lassen, warum das
> immer gelten muß.
>
> Merke: wenn Du etwas beweisen sollst, reicht es nicht, ein
> Beispiel zu finden, bei dem es funktioniert.
Ich weiss das es für alle gelten muss, wollte nur ein Beispiel rauspicken aber es passt für die anderen Tupel auch.
Danke für die Erklärung
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Merke: wenn Du etwas beweisen sollst, reicht es nicht, ein
> > Beispiel zu finden, bei dem es funktioniert.
>
> Ich weiss das es für alle gelten muss, wollte nur ein
> Beispiel rauspicken aber es passt für die anderen Tupel
> auch.
wenn Du das dann abgibst, reicht es nicht, dass Du das nur sagst. Sondern dann musst Du wirklich alle Möglichkeiten auch aufgeschrieben haben. Es ist generell auch nicht schlecht, wenn man etwa "mit Eigenschaften" allgemein beweist, dann auch ein Beispiel zu bringen - so ergänzender Weise. Aber es sollte dann auch als Beispiel deklariert werden, also irgendwo sollte stehen: "Zur Verdeutlichung betrachten wir beispielsweise nun [mm] $\ldots \in [/mm] R [mm] \ldots$ [/mm] " oder sowas!
Übrigens: Du solltest nicht einfach sagen "da das Tupel [mm] $(a,b)\,$ [/mm] vorhanden ist". (Es ist mathematisch nicht eindeutig, was Du hier unter Vorhandesein/Existenz verstehst.) Wenn, dann, dass es auch in [mm] $R\,$ [/mm] vorhanden ist. Oder benutze die mathematische Symbolik, die eben den Grund/Sinn hat, in prägnanter Weise die Informationen zu vermitteln, die man übermitteln möchte:
$$(a,b) [mm] \in [/mm] R$$
oder schreibe, wie es bei Relationen [mm] $R\,$ [/mm] auf [mm] $M\,$ [/mm] (also $R [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \times [/mm] M [mm] \cong M^2$) [/mm] auch gebräuchlich ist
[mm] $$aRb\,.$$
[/mm]
Dabei gilt per Definitionem nämlich
$$aRb [mm] :\gdw [/mm] (a,b) [mm] \in R\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela und studentxyz,
> "wegen (a,b), (b,a)" verstehe ich nicht. Da fehlt etwas, um
> dem Ganzen einen Sinn einzuhauchen.
da sind sicher Aussagen wie $(a,b) [mm] \in R\,, [/mm] (b,a) [mm] \in [/mm] R$ etc. gemeint (andere übliche Notation: [mm] $aRb\,$ [/mm] anstatt $(a,b) [mm] \in [/mm] R$ etc.). Natürlich macht das so, wie es oben notiert ist, keinen Sinn.
Man sagt ja auch nicht: "Wegen [mm] $+2\,$ [/mm] ist die Summe gerader Zahlen gerade..." Da fehlt der eigentliche Informationsgehalt. (Was immer mein letzter in Anführungszeichen stehender Satz auch bedeuten sollte.)
Außerden muss man die Transitivität entweder per definierenden Eigenschaft von [mm] $R\,$ [/mm] nachweisen, oder halt zeigen, dass, wenn man "alle Möglichkeiten für Transitivität" in [mm] $R\,$ [/mm] durchgeht, dass dann auch passt. Ich denke, Angela weiß eh, wie ich das meine. Studentxyz evtl. nicht ganz. Gröber gesagt: Ist [mm] $R\,$ [/mm] endlich, so darf ich mit den Elementen aus [mm] $R\,$ [/mm] "nix basteln können", was die die Transitivität definierende Eigenschaft verletzt. D.h. ich muss nachweisen, dass es in [mm] $R\,$ [/mm] keine Paare $(a,b) [mm] \in [/mm] R$ und $(b,c) [mm] \in [/mm] R$ mit $(a,c) [mm] \notin [/mm] R$ gibt. Und schlimmstenfalls beweise ich das, indem ich mir [mm] $R\,$ [/mm] anschaue, dann immer zwei Paare der Art [mm] $(r,s)\,,$ [/mm] und [mm] $(s,t)\,$ [/mm] in [mm] $R\,$ [/mm] angucke und prüfe, ob ich auch das Paar [mm] $(r,t)\,$ [/mm] in [mm] $R\,$ [/mm] finde (also gucke, ob dann auch $(r,t) [mm] \in [/mm] R$ gilt).
Gruß,
Marcel
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