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Relation prüfen: Korektur, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Do 25.04.2013
Autor: Ptolemaios

Aufgabe
Sei [mm]R \subseteq[/mm] [mm] \IZ[/mm] x [mm] \IZ[/mm]. R ist definiert durch R(x, y) <=> x - y gerade.




Hallo,

Ich soll nun auf Reflexivität, Symmetrie, Transitivitat und Antisymmetrie prüfen.

Reflexivität:
Wenn R reflexiv ist, dann gilt [mm]\forall x \in \IZ: (x, x) \in \IZ[/mm].
(x,x) ∈ R heißt x - x ist gerade und da für alle x ∈ Z gilt: x - x = 0, gilt dies.


Symmetrie:
[mm]\forall x, y \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,x) ∈ R dann auch (x,z) ∈ R!


Transitivitat:
[mm]\forall x, y, z \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,z) ∈ R dann auch (x,z) ∈ R!
Also, ist x - y gerade und ist auch y - z gerade, dann muss auch x - z gerade sein!

Falls x und y gerade:
y - z ist gerade und y ist gerade => z ist gerade.
Also ist x und z gerade => x - y ist gerade.

Falls x und y ungerade:
Also ist y - z gerade und y ist ungerade => z ist ungerade.
Also ist x und z ungerade => x - z ist gerade.


Antisymmetrie:
[mm]\forall x, y \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,x) ∈ R dann x=y.
Gegenbeispiel:
(1,5) ∈ R und (5,1) ∈ R aber nicht (1 = 5)

Also ist R nicht antisymmetrisch.


Würde das soweit passen? ODer gibt es Verbesserungsvorschläge? Beim Zeigen der Symmetrie bin ich mir etwas unsicher. Danke!

Gruß Ptolemaios
 

        
Bezug
Relation prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Do 25.04.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Sei [mm]R \subseteq[/mm] [mm] \IZ[/mm] x [mm] \IZ[/mm]. R ist definiert durch
> R(x, y) <=> x - y gerade.
>  
>
>
> Hallo,
>  
> Ich soll nun auf Reflexivität, Symmetrie, Transitivität
> und Antisymmetrie prüfen.
>  
> Reflexivität:
>  Wenn R reflexiv ist, dann gilt [mm]\forall x \in \IZ: (x, x) \in \IZ[/mm].    [notok]

1.) Hinten hast du ein " [mm] \IZ [/mm] " anstatt ein  " R "  geschrieben.

2.) Dies würde zwar stimmen (falls richtig geschrieben),
aber es geht hier gar nicht um diese Implikation, sondern
um die Definition:  
"Eine Relation R ist (genau dann) reflexiv, falls ..... "
  

> (x,x) [mm] \in [/mm] R heißt x - x ist gerade und da für alle x [mm] \in\IZ [/mm] gilt:
>  x - x = 0, gilt dies.

(... weil 0 eine gerade Zahl ist   :  schreib dies hin !)

>
> Symmetrie:
>  [mm]\forall x, y \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,x) ∈ R
> dann auch (x,z) ∈ R!     [haee]

Schau dir die Definition der Symmetrie nochmals genau
an. Und was soll hier ein z noch zu suchen haben ?


> Transitivität:
>  [mm]\forall x, y, z \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,z) ∈
> R dann auch (x,z) ∈ R!
>  Also, ist x - y gerade und ist auch y - z gerade, dann
> muss auch x - z gerade sein!    

Du sollst nicht erklären, was da sein "müsste" - sondern
du sollst beweisen, dass x-z gerade ist, falls sowohl x-y
als auch y-z gerade sind.

> Falls x und y gerade:
>  y - z ist gerade und y ist gerade => z ist gerade.

>  Also ist x und z gerade => x - y ist gerade.

>  
> Falls x und y ungerade:
>  Also ist y - z gerade und y ist ungerade => z ist

> ungerade.
>  Also ist x und z ungerade => x - z ist gerade.

Anstatt hier diverse Fälle zu unterscheiden (hast du
alle ??), könntest du hier viel eleganter argumentieren,
indem du z.B. die Aussage  $\ [mm] (x,y)\in [/mm] R$  formulieren würdest
als  $\ x-y=2*k$  (wobei [mm] k\in\IZ) [/mm] , etc.
  

> Antisymmetrie:
>  [mm]\forall x, y \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,x) ∈ R
> dann x=y.
>  Gegenbeispiel:
>  (1,5) ∈ R und (5,1) ∈ R aber nicht (1 = 5)
>  
> Also ist R nicht antisymmetrisch.    [ok]

Diesen Nachweis mittels Gegenbeispiel kann man gelten
lassen.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Relation prüfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Do 25.04.2013
Autor: Ptolemaios

Aufgabe
<br>
Hi Al-Chwarizmi


Hi Al-Chwarizmi,

danke für deine schnelle Antwort.
Zur Symmetrie: R ist symmetrisch, wenn (x, y) = (y, x) dann auch (y, x) = (x, y). Das trifft hier meiner Ansicht nach zu, aber wie beweise ich das formal? Ein Beispiel reicht ja nicht...

Zur Transitivtät: 2k ist gerade, darauf willst du hinaus, oder? Aber ich kann deine Idee nicht vervollständigen :(

Danke!

Gruß Ptolemaios

Bezug
                        
Bezug
Relation prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Do 25.04.2013
Autor: Al-Chwarizmi


>  Zur Symmetrie: R ist symmetrisch, wenn (x, y) = (y, x)
> dann auch (y, x) = (x, y).     [haee]

sorry, aber das ist doch Unsinn.
Auch ganz ohne irgendwelche Relation im Visier
zu haben, können wir doch getrost behaupten:

   "Wenn (x,y)=(y,x) , dann ist auch (y,x)=(x,y)  !"

Und warum ? Weil die Gleichheit kommutativ ist !

Hier geht es um Folgendes: es ist zu zeigen, dass aus
[mm] (x,y)\in [/mm] R folgt, dass auch  [mm] (y,x)\in [/mm] R
Ausgedeutscht für die vorliegende Relation R:
"Wenn für 2 ganze Zahlen x und y die Differenz x-y
geradzahlig ist, so ist auch y-x geradzahlig."

Beweis:  Falls x-y geradzahlig ist, können wir
schreiben:  x-y=2*k  (mit einem gewissen [mm] k\in\IZ). [/mm]
Dann folgt y-x=-2*k=2*(-k)=2*n (mit [mm] n:=-k\in\IZ). [/mm]
Also ist auch y-x gerade und damit  [mm] (y,x)\in [/mm] R


> Zur Transitivtät: 2k ist gerade, darauf willst du hinaus,
> oder? Aber ich kann deine Idee nicht vervollständigen :(

Falls [mm] (x,y)\in [/mm] R , folgt  x-y=2k mit einem ganzzahligen k.
Analog: falls [mm] (y,z)\in [/mm] R , ist y-z=2m mit [mm] m\in\IZ [/mm]

Ist beides erfüllt, so folgt:

     x-z = ........   (mittels k und m ausdrücken und dann
Schlussfolgerungen ziehen, um darzulegen, dass auch
[mm] (x,z)\in [/mm] R gelten muss !)

LG ,  Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
Relation prüfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Do 25.04.2013
Autor: Ptolemaios

Danke jetzt habe ich deine Idee nachvollziehen können ;-)
Ich würde nun so abschließen: Die beiden Gleichungen x-y=2k und y-z=2m in x-z einsetzen. Daraus ergibt sich: x-z = 2k + 2m = 2*2n mit n ganzzahlig. Dadurch ist auch x-z gerade und dadurch in R enthalten.
Passt das?

Danke!

Gruß Ptolemaios

Bezug
                                        
Bezug
Relation prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Do 25.04.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Danke jetzt habe ich deine Idee nachvollziehen können ;-)
> Ich würde nun so abschließen: Die beiden Gleichungen
> x-y=2k und y-z=2m in x-z einsetzen. Daraus ergibt sich:
> x-z = 2k + 2m = 2*2n mit n ganzzahlig. Dadurch ist auch x-z
> gerade und dadurch in R enthalten.
> Passt das?

Das passt schon, aber IMO brauchst du keine weitere Variable einführen:

x-z=x-y+y-z=2k+2m=2*(k+m)

und gut is.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Relation prüfen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Do 25.04.2013
Autor: Ptolemaios

Ich danke euch beiden für eure Hilfe, insbesondere Al-Chwarizmi für seine Geduld!

Gruß Ptolemaios

Bezug
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