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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mo 19.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Definiere eine zweistellige Relation E auf [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] wie folgt:
Sei [mm] $m=\sum_{k=0}^{\infty} m_k\cdot 2^k$, [/mm] wobei [mm] $m_k\in \{0,1\}$
[/mm]
Es gelte [mm] $(k,m)\in E\Leftrightarrow m_k=1$
[/mm]
Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
1) [mm] $(\mathbb{N}, [/mm] E)$ erfüllt das Extensionalitätsaxiom
2) [mm] $(\mathbb{N}, [/mm] E)$ erfüllt die Aussage: Es gibt keine Folge [mm] $(m_i)_{i\in\mathbb{N}}$, [/mm] so dass [mm] $(m_{i+1}, m_i)\in [/mm] E$ für alle [mm] $i\in\mathbb{N}$ [/mm] |
Hi,
ich tue mir gerade mit diese Aufgabe sehr schwer.
Erstmal zur 1)
Für uns sind die natürlichen Zahlen mit der Null.
Hier muss ich ja zeigen, dass wenn [mm] $(m,k)\in E\Leftrightarrow [/mm] (m', [mm] k)\in [/mm] E$ für alle $k$, dann gilt $m'=m$
Also:
[mm] $(k,m)\in [/mm] E$ und [mm] $(k,m')\in [/mm] E$ bedeutet ja, dass [mm] $m_k=1$ [/mm] und $m'_k=1$ für alle $k$ gilt.
Dann ist [mm] $m=\sum_{k=0}^\infty 2^k$ [/mm] und [mm] $m'=\sum_{k=0}^\infty 2^k$.
[/mm]
Nun ja, wenn ich dies nun von einander subtrahiere erhalte ich direkt
$m=m'$
aber ich kann mir nicht vorstellen, dass es so gemeint ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mo 19.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Definiere eine zweistellige Relation E auf [mm]\mathbb{N}[/mm] wie
> folgt:
>
> Sei [mm]m=\sum_{k=0}^{\infty} m_k\cdot 2^k[/mm], wobei [mm]m_k\in \{0,1\}[/mm]
>
> Es gelte [mm](k,m)\in E\Leftrightarrow m_k=1[/mm]
>
> Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
>
> 1) [mm](\mathbb{N}, E)[/mm] erfüllt das Extensionalitätsaxiom
>
> 2) [mm](\mathbb{N}, E)[/mm] erfüllt die Aussage: Es gibt keine
> Folge [mm](m_i)_{i\in\mathbb{N}}[/mm], so dass [mm](m_{i+1}, m_i)\in E[/mm]
> für alle [mm]i\in\mathbb{N}[/mm]
> Hi,
>
> ich tue mir gerade mit diese Aufgabe sehr schwer.
>
> Erstmal zur 1)
>
> Für uns sind die natürlichen Zahlen mit der Null.
>
> Hier muss ich ja zeigen, dass wenn [mm](m,k)\in E\Leftrightarrow (m', k)\in E[/mm]
> für alle [mm]k[/mm], dann gilt [mm]m'=m[/mm]
>
> Also:
>
> [mm](k,m)\in E[/mm] und [mm](k,m')\in E[/mm] bedeutet ja, dass [mm]m_k=1[/mm] und
> [mm]m'_k=1[/mm] für alle [mm]k[/mm] gilt.
>
> Dann ist [mm]m=\sum_{k=0}^\infty 2^k[/mm] und [mm]m'=\sum_{k=0}^\infty 2^k[/mm].
>
> Nun ja, wenn ich dies nun von einander subtrahiere erhalte
> ich direkt
>
> [mm]m=m'[/mm]
>
> aber ich kann mir nicht vorstellen, dass es so gemeint
> ist.
>
>
Wenn $ [mm] m=\sum_{k=0}^{\infty} m_k\cdot 2^k \in \IN$, [/mm] so ist die Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty} m_k\cdot 2^k [/mm] konvergent.
Das ist aber nur der Fall, wenn [mm] m_j=0 [/mm] ist für fast alle j [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 19.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Hmm, ich sehe nicht wieso hier Konvergenz notwendig ist.
Das die Reihe nur konvergieren kann wenn [mm] $m_k=0$ [/mm] ist für alle bis auf endlich viele [mm] $k\in [/mm] N$ ist klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:58 Di 20.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hmm, ich sehe nicht wieso hier Konvergenz notwendig ist.
Hmmm, Hmm,...
es ist doch von $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} m_k\cdot 2^k [/mm] $ die Rede. Für mich sieht das aus wie eine unendliche Reihe.Für Dich nicht ?
FRED
> Das die Reihe nur konvergieren kann wenn [mm]m_k=0[/mm] ist für
> alle bis auf endlich viele [mm]k\in N[/mm] ist klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Di 20.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Doch, natürlich. Aber warum muss diese Reihe konvergent sein? Einfach deshalb weil man m bzw. m' sonst keinen "vernünftigen" Wert zu ordnen könnte, bei Divergenz?
Und dann besagt ja diese Relation, dass
[mm] $(k,m)\in E\Leftrightarrow m_k=1$ [/mm]
Wie wäre das nun zu verstehen? Das [mm] $m_k$ [/mm] konstant 1 ist? Dann wäre die Reihe ja auf jeden Fall divergent...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Di 20.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei zunächst m [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann stellst Du m als Dualzahl dar:
$ [mm] m=\sum_{j=0}^{\infty} m_j\cdot 2^j [/mm] $, wobei $ [mm] m_j \in \{0,1\} [/mm] $
In der Summe rechts sind nur endlich viele [mm] m_j=1.
[/mm]
Ist nun k eine weitere natürliche Zahl, so wird definiert:
$ [mm] (k,m)\in E\Leftrightarrow m_k=1 [/mm] $
Beispiel:
m=10. Dann ist
[mm] $m=0*2^0+1*2^1+0*2^2+1*2^3.$
[/mm]
Es ist also [mm] m_0=0, m_1=1, m_2=0 [/mm] , [mm] m_3=1 [/mm] und [mm] m_j=0 [/mm] für j [mm] \ge [/mm] 4.
Es folgt:
(10,1) [mm] \in [/mm] E, (10,3) [mm] \in [/mm] E und (10,k) [mm] \notin [/mm] E für alle k [mm] \in \IN_0 \setminus \{1,3 \}
[/mm]
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:56 Di 20.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Achsooooo ist das gemeint. Das ist also einfach die Binärdarstellung, jup macht Sinn.
Und bei der 1) muss ich jetzt so gesehen zeigen, dass die Binärdarstellung eindeutig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Mi 21.05.2014 | | Autor: | YuSul |
1)
Also ich möchte ja zeigen, dass wenn
[mm] $(k,m)\in E\Leftrightarrow (k,m')\in [/mm] E$ für alle k, dann ist $m=m'$.
Aber dies ist doch klar, denn wenn (k,m) in Relation steht genau dann wenn (k,m') in Relation steht, dann setzt sich m und m' aus den gleichen Summanden zusammen und ist daher gleich.
Das ist doch der Gedanke der dahinter steckt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:08 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> 1)
>
> Also ich möchte ja zeigen, dass wenn
>
> [mm](k,m)\in E\Leftrightarrow (k,m')\in E[/mm] für alle k, dann ist
> [mm]m=m'[/mm].
> Aber dies ist doch klar, denn wenn (k,m) in Relation steht
> genau dann wenn (k,m') in Relation steht, dann setzt sich m
> und m' aus den gleichen Summanden zusammen und ist daher
> gleich.
>
> Das ist doch der Gedanke der dahinter steckt, oder?
Ja.
Sei
$ [mm] m=\sum_{j=0}^{\infty} m_j\cdot 2^j [/mm] $ und
$ [mm] m'=\sum_{j=0}^{\infty} m_j'\cdot 2^j [/mm] $
Weiter gelte für jedes k: $ [mm] (k,m)\in E\Leftrightarrow (k,m')\in [/mm] E $.
Dann bedeutet das: für jedes k ist
[mm] m_k=1 \gdw m_k'=1.
[/mm]
Da [mm] m_j, m_j' \in \{0,1\}, [/mm] folgt: $m=m'$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mi 21.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Schön, das habe ich verstanden. Danke.
Und bei der Aufgabe 2) Soll ich nun zeigen, dass es keine Folge [mm] $(m_i)$ [/mm] gibt so, dass
[mm] $(m_{i+1}, m_i)\in [/mm] E$ für alle [mm] $i\in\mathbb{N}$ [/mm] ist.
Nun ja, wenn es eine solche Folge geben würde, dann wäre die Reihe nicht konvergent, weil es unendlich viele Folgeglieder gibt, die zu einander in Relation stehen.
Aber ansonsten fällt es mir schwer diese Relation im zusammenhang mit der Folge zu interpretieren.
[mm] $(k,m)\in E\Leftrightarrow m_k=1$
[/mm]
[mm] $(m_{i+1}, m_i)\in E\Leftrightarrow m_i_{m_{i+1}}=1$
[/mm]
So müsste man dann doch die Relation aufschreiben?
Scheitern sollte es dann aber jedoch daran, dass die Reihe nicht konvergent ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Schön, das habe ich verstanden. Danke.
>
> Und bei der Aufgabe 2) Soll ich nun zeigen, dass es keine
> Folge [mm](m_i)[/mm] gibt so, dass
>
> [mm](m_{i+1}, m_i)\in E[/mm] für alle [mm]i\in\mathbb{N}[/mm] ist.
>
> Nun ja, wenn es eine solche Folge geben würde, dann wäre
> die Reihe nicht konvergent, weil es unendlich viele
> Folgeglieder gibt, die zu einander in Relation stehen.
> Aber ansonsten fällt es mir schwer diese Relation im
> zusammenhang mit der Folge zu interpretieren.
>
> [mm](k,m)\in E\Leftrightarrow m_k=1[/mm]
>
> [mm](m_{i+1}, m_i)\in E\Leftrightarrow m_i_{m_{i+1}}=1[/mm]
nein, sondern:
[mm](m_{i+1}, m_i)\in E\Leftrightarrow m_{i+1}=1[/mm]
Edit: ich hab mich vertan. Du hast recht.
Das müsst dann für jedes i gelten.
>
> So müsste man dann doch die Relation aufschreiben?
>
> Scheitern sollte es dann aber jedoch daran, dass die Reihe
> nicht konvergent ist.
Ja.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mi 21.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Und woran erkennt man an der oben angegebenen Relation, dass man
[mm] $(m_{i+1},m_i)\in E\Leftrightarrow m_{i+1}=1$
[/mm]
interpretiert?
Nach obiger Definition wäre das dann $(i+1, [mm] m)\in [/mm] E$
Ich muss jetzt leider weg. Kann leider erst heute Abend so gegen 18 Uhr wieder antworten.
Vielen Dank für die Hilfe. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Und woran erkennt man an der oben angegebenen Relation,
> dass man
>
> [mm](m_{i+1},m_i)\in E\Leftrightarrow m_{i+1}=1[/mm]
>
> interpretiert?
Pardon, da hab ich mich vertan. Du hattest recht.
FRED
> Nach obiger Definition wäre das dann [mm](i+1, m)\in E[/mm]
>
> Ich muss jetzt leider weg. Kann leider erst heute Abend so
> gegen 18 Uhr wieder antworten.
> Vielen Dank für die Hilfe. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 21.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann steht es jetzt nur noch 1:10987 für dich :)
Und wie bei 1) kann es keine solche Folge geben, weil dann unendlich viele Folgeglieder in Relation stehen würden und deshalb die Reihe nicht konvergent sein kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Do 22.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann steht es jetzt nur noch 1:10987 für dich :)
>
> Und wie bei 1) kann es keine solche Folge geben, weil dann
> unendlich viele Folgeglieder in Relation stehen würden und
> deshalb die Reihe nicht konvergent sein kann.
Ja
FRED
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