Relation Eigenschaften < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 So 06.05.2012 | | Autor: | arohma |
Die Frage lautet: welche der Eigenschaften reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv hat die folgende Relation in der angegebenen Zahlenmenge?
Rel:={(x,y)Є RxR|y ≥|x|}
Wie sollen die Eigenschaften bewiesen werden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
zunächst eine Rückfrage: das soll
[mm] |y|\ge{|x|}
[/mm]
heißen?
Für diesen Fall überlege, ob folgendes gilt:
i).
[mm] |x|\ge{|x|} [/mm] ?
ii).
[mm] |y|\ge{|x|} [/mm] <=> [mm] |x|\ge{|y|} [/mm] ?
iii).
[mm] |y|\ge{|x|} \wedge |z|\ge{|y|} [/mm] => [mm] |z|\ge{|x|} [/mm] ?
Es sollte dann eigentlich klar sein, welche der drei Eigenschaften nicht erfüllt ist. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 So 06.05.2012 | | Autor: | arohma |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 So 06.05.2012 | | Autor: | arohma |
Hallo!
Vielen Dank für Ihre Antwort.
Das heißt wirklich y≥|x| und die Relation hat folgende Eigenschaften: reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Stimmt?
Es kommt mir halt sehr minimal vor. Soll es nicht anhand eines Beispiels bewiesen werden?
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Hallo,
> Vielen Dank für Ihre Antwort.
> Das heißt wirklich y≥|x|...
Dann ist im Startbeitrag ein Tippfehler.
> ...und die Relation hat folgende
> Eigenschaften: reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.
> Stimmt?
Nein, das ist dann völlig falsch, das wären die Eigenschaften gewesen für den Fall, dass meine Version mit den Betragsklammern auf beiden Seiten zu untersuchen gewesen wäre.
> Es kommt mir halt sehr minimal vor. Soll es nicht anhand
> eines Beispiels bewiesen werden?
In der Mathematik wird niemals etwas anhand von Beispielen bewiesen, das ist ein Widerspruch in sich!
Du kannst die drei Eigenschaften wie vorgeschlagen prüfen, du wirst allerdings feststellen, dass nur eine von den dreien vorliegt. Dazu muss man ein ganz klein wenig mit den Eigenschaften der Betragsfunktion jonglieren...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Mo 07.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Diophant,
> In der Mathematik wird niemals etwas anhand von Beispielen bewiesen,
> das ist ein Widerspruch in sich!
Sag niemals nie... 
Du meinst wohl "für-alle-Aussagen". Denn Existenzaussagen werden natürlich sehr häufig durch Beispiele gezeigt.
Und es gibt sogar "für-alle Aussagen" in der Mathematik, von denen sich zeigen lässt, dass aus der Gültigkeit für ein Beispiel schon die allgemeine Aussage folgen würde.
Hier hast du natürlich recht, dass ein Beispiel zum Beweis einer der behaupteten Eigenschaften nicht genügt. Zum Widerlegen dagegen schon.
> Du kannst die drei Eigenschaften wie vorgeschlagen prüfen,
> du wirst allerdings feststellen, dass nur eine von den
> dreien vorliegt.
Ich komme zu einem anderen Ergebnis: Die Relation ist sowohl antisymmetrisch als auch transitiv.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mo 07.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Ich komme zu einem anderen Ergebnis: Die Relation ist
> > sowohl antisymmetrisch als auch transitiv.
>
> Das mit der Antisymmetrie ist mir ehlrich gesagt doch
> unklar. Kömnntest du das mal noch erläutern?
Seien [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] mit [mm] $y\ge|x|$ [/mm] und [mm] $x\ge|y|$.
[/mm]
Zu zeigen ist $x=y$.
Wegen [mm] $y\ge|x|\ge0$ [/mm] gilt [mm] $y=|y|\le [/mm] x$.
Wegen [mm] $x\ge|y|\ge0$ [/mm] gilt [mm] $x=|x|\le [/mm] y$.
Also tatsächlich $x=y$.
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