Rekursive und explizite Darst. < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Die Folge an ist rekursiv gegeben durchh [mm] a_{1} [/mm] = 1; [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
a) Berechnen Sie die nächsten 5 Folgeglieder.
b) Wie lautet due explizite Darstellung für das n-te Glied?
( c) Weisen Sie Ihre Behauptung durch vollständige Induktion nach. ) |
| Aufgabe 2 | | Die Folge an ist rekursiv gegeben durchh [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}; a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] |
Aufgabe 1:
Die Teilaufgabe a) war mit dem GTR leicht zu lösen und sollte so richtig sein:
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}; a_{3} [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}; a_{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}; a_{5} \approx [/mm] 0,43; [mm] a_{6} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
Mein Problem dabei ist nun aber, dass ich im allgemeinen sehr große Schwierigkeiten habe eine explizite oder rekursive Darstellung einer Folge zu finden; so auch hier.
Aufgabe c) habe ich deshalb in Klammern gesetzt, weil ich die vollständige Induktion eigentlich verstehe, nur ohne explizite Darstellung komme ich ja nicht weit.
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Aufgabe 2:
a) [mm] a_{2} \approx [/mm] 0,58; [mm] a_{3} \approx [/mm] 0,63; [mm] a_{4} \approx [/mm] 0,67; [mm] a_{5} \approx [/mm] 0,69; [mm] a_{6} \approx [/mm] 0,71
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Do 05.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo philipweb,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bei der Ermittlung der einzelnen Folgenglieder hast Du Dich aber vertan ...
[mm] $a_2 [/mm] \ = \ [mm] a_{\red{1}+1} [/mm] \ = \ [mm] a_1*\bruch{\red{1}+1}{\red{1}+2} [/mm] \ = \ [mm] 1*\bruch{2}{3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}$
[/mm]
[mm] $a_3 [/mm] \ = \ [mm] a_{\red{2}+1} [/mm] \ = \ [mm] a_2*\bruch{\red{2}+1}{\red{2}+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\bruch{3}{4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{4}$
[/mm]
[mm] $a_4 [/mm] \ = \ [mm] a_{\red{3}+1} [/mm] \ = \ [mm] a_3*\bruch{\red{3}+1}{\red{3}+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{4}*\bruch{4}{5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{5}$
[/mm]
usw.
Und sollte hier doch schon eine Gesetzmäßigkeit für die explizite Darstellung erkennbar sein.
Bei Aufgabe 2 habe ich jetzt nicht nachgerechnet, aber Du solltest auf jeden Fall nicht mit Dezimalzahlen sondern mit Brüchen arbeiten ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Do 05.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
Auch bei Aufgabe 2 erhalte ich andere Folgenglieder:
[mm] $a_2 [/mm] \ = \ [mm] a_{\red{1}+1} [/mm] \ = \ [mm] a_1+\bruch{1}{(\red{1}+1)*(\red{1}+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $
[mm] $a_3 [/mm] \ = \ [mm] a_{\red{2}+1} [/mm] \ = \ [mm] a_2+\bruch{1}{(\red{2}+1)*(\red{2}+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}+\bruch{1}{12} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4} [/mm] $
usw.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Do 05.10.2006 | | Autor: | philipweb |
Die explizite Darstellung wäre doch dann [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}, [/mm] oder?
Wenn ich dann die Induktion mache bleibe ich hängen und seh eifnach nicht wie es weitergeht.
(1) [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist wahr (genauso bei [mm] a_{2})
[/mm]
(2) Ann. [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}; [/mm] z.z. [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = ...?
Wahrscheinlich habe ich irgendwo einen Leichtsinnsfehler eingebaut?! Ich kann ihn aber einfach nicht finden...
OK, ich habs gemerkt... [mm] a_{n+1} [/mm] = ... = [mm] \bruch{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n+2}[/mm]
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Hm stimmt. Ich habe das nicht wirklich kontrolliert nachdem ich fertig war mit dem GTR. Aber wie muss ich das denn dann eingeben?! Wenn das offensichtlich falsche Ergebnisse liefert:
nMin = 1
u(n) = u(n-1)*((n+1)/(n+2))
u(nMin) = 1
Ich habe den Texas Instruments 83 Plus.
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Als explizite Darstellung von Aufgabe 1 wäre also [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] richtig?
Vollständige Induktion sagt ja:
(1) [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{1+1} [/mm] = 1 ist wahr (genauso [mm] a_{2})
[/mm]
(2) Ann. [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+1}; [/mm] z.z. [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+2}
[/mm]
[mm] a_{n+1}= a_{n} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{2(n+1)}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Fr 06.10.2006 | | Autor: | philipweb |
Ich habe es gerade gemerkt als ich an die Aufgabe denken musste und habe die Aufgabe direkt nochmal rausgekramt und meinen Fehler gesehen  .
Trotzdem danke, mein Problem wäre damit endgültig gelöst.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier hast Du die Indizes falsch umgesetzt. Es muss heißen:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
