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| Aufgabe | Das Pendel einer Uhr mit einer Schwingungsdauer (Periode) von zwei Sekunden wird innerhalb
der ersten Sekunde jeder Periode durch einen Stoß angeregt; dadurch vermehrt sich seine
Gesamtenergie jeweils um ein Joule. In der restlichen Zeit einer Periode verringert sich die Energie
des Pendels infolge von Reibungsverlusten jeweils um vier Prozent.
En bezeichne die Gesamtenergie des Pendels zu Beginn der n-ten Periode.
a) Wie lautet die Rekursionsformel für die Folge [mm] (E_{n})?
[/mm]
b) Für den Fall [mm] E_{1} [/mm] = 0 zeige man, dass [mm] (E_{n}) [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt
ist.
c) Gegen welchen Grenzwert strebt die Folge? |
Meine Idee:
Zu a. die Rekursionsformel lautet
[mm] E_{n+1}=0,96(E_{n}+1)
[/mm]
Zu b. weiss ich gar nicht wie ich vorgehen soll, muss da was mit vielleicht mit der Cauchyfolge bewiesen werden.
Zu c wenn ich b beweisen würde und es monoton wachsend und nach oben beschränkt wäre dann kann man davon ausgehen das es einen Grenzwert hat und das so berechnen
Den Grenzwert erhält man über den Ansatz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}E_{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}E_{n} [/mm] =: E
Dies nun in die Rekursionsvorschrift einsetzen:
[mm] E_{n+1} [/mm] = [mm] \left(E_n+1\right)\cdot{}0{,}96 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] E = [mm] \left(E+1\right)\cdot{}0{,}96 [/mm]
Nun umstellen nach dem Grenzwert
E = (E+1)*0.96
0,04E=0,96
E=24
Sind meine Berechnungen bisher richtig oder falsch und fehlt noch etwas???
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen...
Ich bin wirklich verzweifelt..
Lg und einen Herzlichen Dank.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Ich denke deine Berechnung sind bisher in Ordnung, die Grenzwertberechnung erscheint mir jedenfalls nachvollziehbar und logisch...
spontan kam mir gerade zu b die Idee, dass die Folge ja auf jeden Fall durch 0 nach unten beschränkt ist.
Um die Beschr. nach oben zu untersuchen muss ja folgendes gelten
[mm] \exists [/mm] c [mm] \in \IR \forall [/mm] n [mm] \in \IN: E_n \le [/mm] c, wobei c [mm] \ge [/mm] 0
Jetzt muss man ja im Prinzip die Existenz von c beweisen. Ich denke das geht durch vollständige Induktion:
(IA) n=1: [mm] E_1 [/mm] = 0 [mm] \le [/mm] c
(IV) Die Beh. gelte für ein n [mm] \in \IN [/mm] < [mm] E_n \le [/mm] c
(IS) n [mm] \to [/mm] n+1
der Induktionsschritt bereitet mir jedoch grad Probleme, aber vielleicht hilft dir das ja trotdem weiter...
LG Pia
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Cool danke dann versuche ich das auch mal...hoffe das dir jetzt auch einwenig weitergeholfen ist mit der c ;)....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Sa 27.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
das die Folge konvergent ist sieht man auch daran
Durch rekursives einsetzten folgt
[mm] E_2=\alpha*[E_1+1]
[/mm]
[mm] E_3=\alpha*(E_2+1)=\alpha*[\alpha*(E_1+1)+1]=\alpha^2*E_1+\alpha^2+\alpha
[/mm]
[mm] E_4=\alpha*[E_3+1]=\alpha*[\alpha^2*E_1+\alpha^2+\alpha+1]=\alpha^3*E_1+\alpha^3+\alpha^2+\alpha
[/mm]
d.h.
[mm] E_{n+1}=\alpha^n*E_1+\summe_{k=1}^{n}\alpha^k=\alpha^n*E_1+\summe_{k=0}^{n}\alpha^k-1
[/mm]
und das konvergiert gegen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}E_{n+1}=\br{1}{1-\alpha}-1=24 [/mm] weil [mm] \alpha^n [/mm] gegen 0 konvergiert, egal welchen Anfangswert [mm] E_1 [/mm] annimmt.
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