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| Aufgabe | Untersuchen Sie die rekursive definierten Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggbnf. die Grenzwerte:
[mm] a_{1} [/mm] = 1 ; [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} a_{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] für n = 1,2,3... |
Hallo!
Weiss nicht wirklich wie ich Aufgaben dieses Typs sicher lösen kann.
Auf Anfrage bekam ich:
wenn an konvergiert dann gegen a = 1/4 a - 1/2 => a = 2/3
an soll also gegen 2/3 konvergieren.
Frage ist nun: Kann ich das immer so bei rekursive definierten folgen machen? also a = folgenterm mit a für an éingesetzt , nach a auflösen, dann ist a möglicher grenzwert.
geht das?
2. frage ist: was muss ich nun noch alles tun um konvergenz (soweit vorhanden) zu beweisen. obiges schema liefert ja nur eine mögliche grenze. größeres/kleineres a1 einsetzen? irgendwie sowas?
das is mir das wichtigste was ich hier noch machen muss. =)
thx 4 help, mfg yuffie =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Lösung ist - 2/3 , nicht 2/3.
Versehen, Sorry.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die rekursive definierten Folgen auf
> Konvergenz und bestimmen Sie ggbnf. die Grenzwerte:
>
> [mm]a_{1}[/mm] = 1 ; [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4} a_{1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> für n = 1,2,3...
> Hallo!
Es soll wohl
[mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4} a_{n}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
heißen
>
> Weiss nicht wirklich wie ich Aufgaben dieses Typs sicher
> lösen kann.
>
> Auf Anfrage bekam ich:
>
> wenn an konvergiert dann gegen a = 1/4 a - 1/2 => a = 2/3
> an soll also gegen 2/3 konvergieren.
Rechne nochmal nach: a = -2/3
>
> Frage ist nun: Kann ich das immer so bei rekursive
> definierten folgen machen? also a = folgenterm mit a für an
> éingesetzt , nach a auflösen, dann ist a möglicher
> grenzwert.
> geht das?
Ja und nein.
Aber diese Methode ist nicht "wasserdicht":
Beispiel: [mm] a_1 [/mm] = 1, [mm] a_2 [/mm] = 2 und [mm] a_{n+1}= \bruch{a_n^2}{a_{n-1}}
[/mm]
angenommen, die Folge würde konvergieren. Sei a ihr Grenzwert. dann führt die Definitionsgleichung auf die richtige aber nutzlose Gleichung
a= a.
Die Folge in obigem Beispiel ist übrigends divergent (warum ?)
FRED
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> 2. frage ist: was muss ich nun noch alles tun um konvergenz
> (soweit vorhanden) zu beweisen. obiges schema liefert ja
> nur eine mögliche grenze. größeres/kleineres a1 einsetzen?
> irgendwie sowas?
> das is mir das wichtigste was ich hier noch machen muss.
> =)
Du kannst folgendes machen: Zeige , dass die Folge beschränkt und monoton ist. Aus dem Monotoniekriterium folgt dann die Konvergenz.
FRED
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> thx 4 help, mfg yuffie =)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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sorry für den fehler in der aufgabenstellung, als er mir auffiel wurde die frage bereits von dir beantwortet.
die von dir gepostete folge divergiert meiner meinung nach gegen +unendlich, aufgrund der definition von a1 und a2.
monoton steigend bedeutet, dass a1 <= (kleiner gleich) a2 <= an
monoton fallend mit umgekehrten vorzeichen.
beschränkung bedeutet, dass es eine obere und untere grenze gibt.
eine monotone beschränkte folge konvergiert.
wie beweise ich jedoch nun monotonie und beschränkung bei meiner folge?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 04.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne 2 bis 3 Glieder aus, dann hast du die Vermutung, ob sie mon faellt oder steigt. Wenn du das hast musst du eben zeigen [mm] a_n
dann sichtst du irgend ne obere und untere Schranke. Oft ist der GW dafuer ein guter Kandidat. (obere fuer steigend, untere fuer fallend.
und dann musst du halt beweisen mit den ueblichen Mitteln.
Wenn du im forum rumsuchst findest du viele beispiele.
Gruss leduart
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