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Rekursive Folge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Mi 11.04.2012
Autor: MartinNeumann

Aufgabe
Prüfe die Folge [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}^3$ [/mm] mit [mm] $a_{0} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$, [/mm] $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] auf Konvergenz und im Fall von Konvergenz den Grenzwert.


Wie gehe ich da nun die Lösung an?

Ich habe mir die ersten 4 Folgenwerte mal aufgeschrieben:

[mm] $a_{0} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm]
[mm] $a_{1} [/mm] = [mm] \frac{1}{8}$ [/mm]
[mm] $a_{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{512}$ [/mm]
[mm] $a_{3} [/mm] = [mm] \frac{1}{134217728}$ [/mm]

Daraus schließe ich, dass der Nenner gegen Null geht. Impliziert das gleich, dass der Grenzwert auch gegen Null geht, weil $1/0$?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Mi 11.04.2012
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Prüfe die Folge [mm]a_{n+1} = a_{n}^3[/mm] mit [mm]a_{0} = \frac{1}{2}[/mm],
> [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] auf Konvergenz und im Fall von Konvergenz
> den Grenzwert.


> Wie gehe ich da nun die Lösung an?


Zunächst ein paar Folgenglieder ausrechnen ist immer ein guter Anfang. Das hast du bereits getan:


> Ich habe mir die ersten 4 Folgenwerte mal aufgeschrieben:
>  
> [mm]a_{0} = \frac{1}{2}[/mm]
>  [mm]a_{1} = \frac{1}{8}[/mm]
>  [mm]a_{2} = \frac{1}{512}[/mm]
>  
> [mm]a_{3} = \frac{1}{134217728}[/mm]
>  
> Daraus schließe ich, dass der Nenner gegen Null geht.
> Impliziert das gleich, dass der Grenzwert auch gegen Null
> geht, weil [mm]1/0[/mm]?

Nein.

Du meinst, dass der Nenner gegen unendlich geht, und damit die Folge gegen 0 geht. Das ist richtig, aber kein Beweis.

Du kannst nicht auf Basis von drei ausgerechneten Folgengliedern etwas über das Verhalten der Folge im Unendlichen folgern. Aber guck die Folge nochmal etwas genauer an:

[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}^3$, $a_0 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$. [/mm]

Wenn du ein bisschen überlegst, fällt dir vielleicht eine explizite Darstellung ein! Die ersten paar Folgenglieder lauten ja:

[mm] $a_0 [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{1}$, [/mm]
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] a_0^3 [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$, [/mm]
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] a_1^3 [/mm] = [mm] \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\right)^3 [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{3^2}$, [/mm]
[mm] $a_3 [/mm] = [mm] a_2^3 [/mm] = [mm] \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{3^2}\right)^3 [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{3^3}$, [/mm]
...

Wenn du eine explizite Darstellung gefunden hast, kannst du anhand dieser deine Vermutung beweisen.


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
        
Bezug
Rekursive Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Mi 11.04.2012
Autor: MartinNeumann

Ahhh okay.

Das heißt also die Folge lässt sich auch so schreiben:

[mm] $(\frac{1}{2})^{3^n}$ [/mm] und dann lasse ich $n [mm] \mapsto \infty$ [/mm] laufen und das ist mein Grenzwert?

Bezug
                
Bezug
Rekursive Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 Mi 11.04.2012
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Ahhh okay.
>  
> Das heißt also die Folge lässt sich auch so schreiben:
>  
> [mm](\frac{1}{2})^{3^n}[/mm] und dann lasse ich [mm]n \mapsto \infty[/mm]
> laufen und das ist mein Grenzwert?

Genau, weil die von dir gefundene explizite Darstellung ja dieselbe Folge wie die in der Aufgabe beschreibt.

Grüße,
Stefan

Bezug
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