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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Rekursive Folge in [mm] \IR:
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] > 0, [mm] x_{n+1}:= \bruch{2x_{n}}{1+x_{n}^{2}}, [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] x_{n} \le [/mm] 1 für n [mm] \ge [/mm] 2. Folgern Sie, dass [mm] (x_{n})_{n} [/mm] ab n=2 monoton wächst. |
Hallo,
bei dieser Folge habe ich Probleme mit dem Induktion bzw. mit dem Wurzelziehen.
Für den Induktionsanfang muss ich ja n=2 prüfen, also [mm] x_{2}=\bruch{2*x_{1}}{1+x_{1}^{2}}. [/mm] Dies muss jetzt kleiner oder gleich 1 sein. Dafür muss der Zähler kleiner oder gleich dem Nenner sein, also erhalte ich die Ungleichung:
[mm] 2*x_{1} \le 1+x_{1}^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 1+x_{1}^{2} [/mm] - [mm] 2*x_{1} \ge [/mm] 0
[mm] \gdw (x_{1}-1)^2 \ge [/mm] 0
Wenn ich jetzt die Wurzelziehe erhalte ich ja mein gewünschtes Ergebnis von [mm] x_{1} [/mm] > 1 aber auch [mm] x_{1} [/mm] < 1. Das selbe Problem habe ich dann auch im Induktionsschritt. Kann mir da jemand einen Tipp geben oder gehe ich die ganze Sache von Grund auf total falsch an?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Du brauchst doch keine Induktion ! Für n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] x_{n+1} \le [/mm] 1 [mm] \gdw \bruch{2x_n}{1+x_n^2} \le [/mm] 1 [mm] \gdw 0\le 1-2x_n+x_n^2.
[/mm]
Wenn die letzte Ungl. richtig ist, so ist auch [mm] x_{n+1} \le [/mm] 1 richtig.
Warum ist die letzte Ungl. richtig ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Sorry komme grade nicht drauf, wieso die letzte Ungleichung richtig ist.
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Hallo Pauli85,
> Sorry komme grade nicht drauf, wieso die letzte Ungleichung
> richtig ist.
Denke mal an die Binomischen Formeln!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Ich kann das ganze ja zu
0 [mm] \le (x_{n}-1)^{2}
[/mm]
zusammenfassen. Wenn ich dann die Wurzelziehe erhalte ich
[mm] x_{n} \ge [/mm] 1, aber auch
[mm] x_{n} \le [/mm] 1, was ja mein urpsrüungliches Problem war.
Oder kann man vor dem Wurzelziehen schon aufhören und argumentieren, dass das Produkt immer größer oder gleich 0 ist wegen dem Quadrat?
Danke & Grüße
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Hallo nochmal,
> Ich kann das ganze ja zu
> 0 [mm]\le (x_{n}-1)^{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zusammenfassen. Wenn ich dann die
> Wurzelziehe erhalte ich
> [mm]x_{n} \ge[/mm] 1, aber auch
> [mm]x_{n} \le[/mm] 1, was ja mein urpsrüungliches Problem war.
>
> Oder kann man vor dem Wurzelziehen schon aufhören und
> argumentieren, dass das Produkt immer größer oder gleich
> 0 ist wegen dem Quadrat?
Ja natürlich! Das ist ja das Praktische an Quadraten 
>
> Danke & Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Und langt es bei dem Nachweiß der Monotonie aus, wenn ich zeige, dass [mm] x_{n} \le x_{n+1} [/mm] und sage, dass dies für alle n [mm] \ge [/mm] 2 gilt oder muss ich dort [mm] x_{n+1} \le x_{n+2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Und langt es bei dem Nachweiß der Monotonie aus, wenn ich
> zeige, dass [mm]x_{n} \le x_{n+1}[/mm] und sage, dass dies für alle
> n [mm]\ge[/mm] 2 gilt oder muss ich dort [mm]x_{n+1} \le x_{n+2}[/mm] für
> alle n [mm]\in \IN[/mm] zeigen?
Die Aussagen
[mm]x_{n} \le x_{n+1}[/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 2
und
[mm]x_{n+1} \le x_{n+2}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
sind doch äquivalent !!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Gut danke, war mir nicht sicher ob ich einfach "ab n=2" schreiben darf.
Danke für die Unterstützung
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