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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende rekursiv gegebene Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert:
[mm] a_{1}=3
[/mm]
[mm] a_{n+1}= \bruch{1}{3+a_{n}^{2}} [/mm] |
Hallo,
ich weiß leider nicht, wie ich diese Aufgabe mathematisch beweisen kann.
Ich hab eine Zeit lang versucht, irgendwelche Anhaltspunkte für einen math. Beweis zu finden. Die einzigen theoretischen Ergebnisse lauten:
1) [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen 0,32/0,31 (genau weiß ich das nicht)
2) 0,08 [mm] \le a_{n} \le [/mm] 3
3) [mm] a_{n+2} \ge a_{n+3}
[/mm]
- Hab ich deshalb so definiert, da ja [mm] a_{2+1}=\bruch{1}{12}=0,083
[/mm]
- Die darauffolgende Folge ist größer
- Induktion hab ich auch mit diesen Folgen gemacht
Ich hab dann versucht folgendes zu berechnen:
a = [mm] \bruch{1}{3+a^{2}}
[/mm]
Leider komm ich nicht auf das richtige Ergebnis. Normalerweile lös ich solche Probleme mit einer quadratischen Gleichung, aber die funktioniert hier irgendwie nicht!!! Traurig aber wahr.
Ich hoff, irgendjemand kann mir dabei helfen.
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 22.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
kann man sich nicht vielleicht mithilfe von q der lösung nähern; bei geometrischer folge...
grusswolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:08 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zeigen Sie, dass die folgende rekursiv gegebene Folge
> konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert:
>
> [mm]a_{1}=3[/mm]
> [mm]a_{n+1}= \bruch{1}{3+a_{n}^{2}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß leider nicht, wie ich diese Aufgabe mathematisch
> beweisen kann.
> Ich hab eine Zeit lang versucht, irgendwelche Anhaltspunkte
> für einen math. Beweis zu finden. Die einzigen
> theoretischen Ergebnisse lauten:
>
> 1) [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen 0,32/0,31 (genau weiß ich das
> nicht)
wie kommst du da drauf das ist ja etwa 1 und damit sicher falsch.
> 2) 0,08 [mm]\le a_{n} \le[/mm] 3
Das ist zu schlecht .für n>1 ist an<1/3 und für n>2 deshalb an>1/4. ab n=2
steigt an monoton. eine monotone, beschränkte Folge konvergiert.
GW aus deiner richtigen Gleichung, für die ich aber auch keine Lösung weiss. aber die Angabe: den GW bestimmt man au [mm] a^3+3a-1=0 [/mm] reicht vielleicht.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende rekursiv gegebene Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert:
[mm] a_{1}=3 [/mm]
[mm] a_{n+1}= \bruch{1}{3+a_{n}^{2}} [/mm] |
@leduart: Ich glaub nicht, dass die Folge gegen 1 konvergiert, immerhin musst du ja das vorhergehende Ergebnis aus [mm] a_{n} [/mm] in die aktuelle Folge ja wieder einbauen und quadrieren. Laut meinen Berechnungen kommt da anfangs
1) 0,083
2) 0,332
3) 0,321 .....
Meiner Meinung nach konvergiert das Ganze nicht gegen 1. Oder seh ich das falsch???
@hase-hh: du meinst, ich soll [mm] a_{i}^{2} [/mm] durch [mm] (a_{0}*q^{i})^{2} [/mm] ersetzen? Aber wie komm ich dann auf q? Wenn ich eine quadratische Gleichung hab, so hab ich auch q dabei --> und das ist ja die Konstante in der Gleichung. Eine Zahl wär dann nicht schlecht, oder ist die Formelherleitung Ergebnis genug?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Braunstein
> @leduart: Ich glaub nicht,
> dass die Folge gegen 1 konvergiert, immerhin musst du ja
> das vorhergehende Ergebnis aus [mm]a_{n}[/mm] in die aktuelle Folge
> ja wieder einbauen und quadrieren. Laut meinen Berechnungen
> kommt da anfangs
Ich hab doch genau gesagt, dass sie sicher nicht! gegen 1 konvergiert. du hast geschrieben konv gegen 0.31/0.32
ich versteh jetzt, dass du mit / keine division meintest warum dann nicht :ein Wert zw. 0.31 und 0.32?
Damit hast du wohl recht, daleicht nachzuweisen ist 0,3<a<0,33.
Gruss leduart.
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende rekursiv gegebene Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert:
[mm] a_{1}=3
[/mm]
[mm] a_{n+1}= \bruch{1}{3+a_{n}^{2}} [/mm] |
Vorerst mal herzlichen Dank für all eure Antworten und Hinweise. Leider komm ich mit Hilfe verschiedenster Formelsammlungen auch nicht weiter. Habe mal versucht was mit der geometrischen Folge zu machen. Leider bin ich auf kein Ergebnis gekommen.
Hat vielleicht irgendjemand die Lösung zu diesem im Kopf bzw. den Lösungsweg? Ich komm leider nicht weiter und würde mich über heiße Tipps sehr freuen.
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Di 24.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es hat sicher keinen Sinn in Formelsammlungen zu suchen.
Den GW bekommst du nur über die Lösung der Gl. 3. Grades. exakt, da gibts ne Methode (Wikipedia) oder genähert mit irgendnem Approximationsverfahren.
Und die Konvergenz hast du schon bewiesen?
Gruss leduart
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