Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Do 10.01.2008 | | Autor: | HoOrst |
| Aufgabe | Aufgabe
Seien a0 ∈ R und f : R → R eine Funktion. Ferner sei (an )n∈R die durch an+1 := f (an ) fur n ∈N rekursiv definierte Folge. Einen Punkt a ∈ R mit f (a) = a nennen wir einen Fixpunkt von f .
i) Finden Sie eine Funktion f und einen Startwert a0, so dass lim n->∞ an = a für ein a R mit f(a) != a
ii) Zeigen Sie dass ernn f stetig ist und lim n->∞ an = a, dann gilt f(a) = a |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir bei diesen beiden Aufgaben jemand helfen? Stehe da total auf dem Schlauch :-(
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> Aufgabe
> Seien a0 ∈ R und f : R → R eine Funktion.
> Ferner sei (an )n∈R die durch an+1 := f (an ) fur n
> ∈N rekursiv definierte Folge. Einen Punkt a
> ∈ R mit f (a) = a nennen wir einen Fixpunkt von f .
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> i) Finden Sie eine Funktion f und einen Startwert a0, so
> dass lim n->∞ an = a für ein a R mit f(a) != a
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> ii) Zeigen Sie dass ernn f stetig ist und lim n->∞ an
> = a, dann gilt f(a) = a
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Kann mir bei diesen beiden Aufgaben jemand helfen? Stehe da
> total auf dem Schlauch :-(
Zu i) Nimm also an, dass $a$ beliebig vorgegeben ist. Wenn wir nun etwa ein [mm] $a_0
[mm]f(x):=\begin{cases}\frac{a+x}{2} &\text{falls $x
Zu ii) Aus der Stetigkeit von $f$ folgt, dass z.B. [mm] $f(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n)\red{=}\lim_{n\rightarrow \infty}f(a_n)$. [/mm] Dies kann man nun so anwenden:
[mm]f(a)=f(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n)\red{=}\lim_{n\rightarrow \infty}f(a_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n+1}=\ldots[/mm]
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