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Rekursionsformel für Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Sa 04.02.2006
Autor: kuminitu

Aufgabe
Bestimmen Sie eine Rekursionsformel für die Integrale

[mm] j_{n}= \integral_{1}^{e}{(ln(x))^{n} dx} [/mm]

Berechnen Sie J1, sowie daraus J2, . . . , J5.

Hallo,

habe mir eine formel überlegt die das Integral bis n brechnet, und die sieht auch ganz gut aus, ist aber leider nicht rekursiv:

x *( [mm] \summe_{n=k}^{n}((-1)^{k+1}* \bruch{n!}{k!}(ln(x)^{n})+n!*(-1)^{n}) [/mm]

Hab mir ziemlich lange den Kopf darüber zerbrochen, bin aber auf keine rekursive Lösung gekommen!

Freue mich über jede Hilfe!

MFG


        
Bezug
Rekursionsformel für Integrale: Partielle Integration
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Sa 04.02.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo   kuminitu,
Deine direkte Formel ist mir zu kompliziert [grins]
[mm]j_{n}= \integral_{1}^{e}{(ln(x))^{n} dx}[/mm]
Versuch doch mal mit partieller Integration. Es müsste ja dann rechts
[mm]\integral_{1}^{e}{(ln(x))^{n-1} dx}[/mm] stehen.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn


Bezug
        
Bezug
Rekursionsformel für Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 So 05.02.2006
Autor: Leopold_Gast

Und das ist die Formel, die du suchst (du solltest dich übrigens festlegen, ob du jetzt ein kleines oder großes J verwenden willst) - man kann sogar mit [mm]n=0[/mm] beginnen:

[mm]j_0 = \operatorname{e} - 1[/mm]
[mm]j_n = \operatorname{e} - n \, j_{n-1} \ \ \mbox{für} \ n \geq 1[/mm]

Für den Beweis beachte den Hinweis von mathemaduenn. Verwende bestimmte (!!!) partielle Integration.

Bezug
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