Rekursionsformel für Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Do 16.04.2009 | | Autor: | fabwag |
| Aufgabe | [mm] L_{k} [/mm] := [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(t^{2}+A^{2})^{k}} dt}
[/mm]
A=konst. [mm] \in\IR [/mm]
Führen Sie die Berechnung von [mm] L_{k} [/mm] auf die Berechnung von [mm] L_{k-1} [/mm] zurück indem Sie eine entsprechende Rekursionsformel herleiten. Formen Sie dazu [mm] L_{k-1} [/mm] um und lösen Sie die erhaltene Gleichung nach [mm] L_{k} [/mm] auf. |
Hallo,
hoffentlich könnt ihr mir helfen. Ich überlege bei dieser Aufgabe schon ewig!
Da steht man soll [mm] L_{k-1} [/mm] umformen. Aber alles was ich bisher probiert habe macht das Ganze nur viel komplizierter.
Da man Rekursionsformeln meist über partielle Integration erhält habe ich auch das schon versucht. Dabei komme ich aber nur auf unübersichtliche Terme in denen nicht [mm] L_{k} [/mm] auftaucht...
Hat jemand eine Ansatz hierzu? Wäre euch sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo fabwag,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]L_{k}[/mm] := [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(t^{2}+A^{2})^{k}} dt}[/mm]
>
> A=konst. [mm]\in\IR[/mm]
>
> Führen Sie die Berechnung von [mm]L_{k}[/mm] auf die Berechnung von
> [mm]L_{k-1}[/mm] zurück indem Sie eine entsprechende
> Rekursionsformel herleiten. Formen Sie dazu [mm]L_{k-1}[/mm] um und
> lösen Sie die erhaltene Gleichung nach [mm]L_{k}[/mm] auf.
> Hallo,
>
> hoffentlich könnt ihr mir helfen. Ich überlege bei dieser
> Aufgabe schon ewig!
> Da steht man soll [mm]L_{k-1}[/mm] umformen. Aber alles was ich
> bisher probiert habe macht das Ganze nur viel
> komplizierter.
> Da man Rekursionsformeln meist über partielle Integration
> erhält habe ich auch das schon versucht. Dabei komme ich
> aber nur auf unübersichtliche Terme in denen nicht [mm]L_{k}[/mm]
> auftaucht...
>
> Hat jemand eine Ansatz hierzu? Wäre euch sehr dankbar!
Transformiere zunächst das Integral.
Eine geeignete Transformation ist hier [mm]t=A*\tan\left(u\right)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:30 Fr 17.04.2009 | | Autor: | fabwag |
>
> Transformiere zunächst das Integral.
>
> Eine geeignete Transformation ist hier
> [mm]t=A*\tan\left(u\right)[/mm]
>
Danke erstmal für die schnelle Antwort!
Allerdings weiß ich mit dem Tipp leider nicht viel anzufangen.
Was meinst du mit Transformation?
Eine Substitution? Das habe ich jetzt ausprobiert, wobei ich aber auf
kein sinnvolles Ergebnis komme...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo fabwag!
Ja, damit ist genau die entsprechenden Substitution gemeint. Was erhältst Du denn damit?
Hast Du auch das Differential $dt_$ durch $du_$ ersetzt?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Fr 17.04.2009 | | Autor: | fabwag |
t := A (tan u)
[mm] \Rightarrow L_{k}= \integral_{}^{}{ \bruch{1}{((A*tan u)^{2}+A^{2})^{k}}*A*(1+tan^{2} u) du} [/mm] = [mm] A*L_{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{A^{2k-1}} \integral_{}^{}{ \bruch{tan^{2} u}{(tan^{2} u+1)^{k}}du}
[/mm]
und dann seh ich nicht wie es weitergeht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Fr 17.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich seh auch nicht wohin man mit dem Vorschlag kommt. aber das Umformen von [mm] L_{k-1} [/mm] in [mm] L_k+.. [/mm] solltest du versuchen. erweitere in [mm] L_{k-1} [/mm] mit [mm] A^2+t^2, [/mm] das verbleibende integral in
[mm] t*bruch{t}{(t^2+A^2)^k} [/mm] und ds partiell integrieren.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Sa 18.04.2009 | | Autor: | fabwag |
Das mit dem erweitern ist ne gute Idee!
Aber wenn ich [mm] t*\bruch{t}{(t^2+A^2)^k} [/mm] partiell integriere
komme ich auf
[mm] \bruch{t²}{2(t²+A²)^{k}} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2} t² * \bruch{(t²+A²)^{k}-k(t²+A²)^{k-1}2t*t}{(t²+A²)^{2k}} dt}
[/mm]
konnte nicht herausfinden wie man das sinnvoll weiter umformen kann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Sa 18.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Das mit dem erweitern ist ne gute Idee!
>
> Aber wenn ich [mm]t*\bruch{t}{(t^2+A^2)^k}[/mm] partiell integriere
> komme ich auf
>
> [mm]\bruch{t²}{2(t²+A²)^{k}}[/mm] - [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2} t² * \bruch{(t²+A²)^{k}-k(t²+A²)^{k-1}2t*t}{(t²+A²)^{2k}} dt}[/mm]
Wie kommst du darauf? Stammfkt von [mm] \bruch{t}{(t^2+A^2)^k}
[/mm]
ist doch [mm] \bruch{1}{k-1}*\bruch{1}{(t^2+A^2)^{k-1}}
[/mm]
also u=t u'=1 [mm] v'=\bruch{t}{2(t²+A²)^{k}} [/mm] v siehe oben
Deine formel kann ich nicht nachvollziehen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 So 19.04.2009 | | Autor: | fabwag |
> Wie kommst du darauf? Stammfkt von [mm]\bruch{t}{(t^2+A^2)^k}[/mm]
> ist doch [mm]\bruch{1}{k-1}*\bruch{1}{(t^2+A^2)^{k-1}}[/mm]
> also u=t u'=1 [mm]v'=\bruch{t}{2(t²+A²)^{k}}[/mm] v siehe oben
> Deine formel kann ich nicht nachvollziehen.
Ich habe bei der Substitution t als u' betrachtet...
Für die Stammfunktion von [mm] \bruch{t}{(t^2+A^2)^k} [/mm] habe ich aber [mm] -\bruch{1}{2(k-1)}*\bruch{1}{(t^2+A^2)^{k-1}} [/mm] raus
Wenn ich das Ganze dann anwende komme ich schließlich zu
[mm] L_{k}= \bruch{2k-3}{A²(k-1)}L_{k-1}+\bruch{t}{2A²(k-1)(t²+A²)^{k-1}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo fabwag,
> t := A (tan u)
>
> [mm]\Rightarrow L_{k}= \integral_{}^{}{ \bruch{1}{((A*tan u)^{2}+A^{2})^{k}}*A*(1+tan^{2} u) du}[/mm]
> = [mm]A*L_{k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{A^{2k-1}} \integral_{}^{}{ \bruch{tan^{2} u}{(tan^{2} u+1)^{k}}du}[/mm]
>
> und dann seh ich nicht wie es weitergeht...
Dann will ich Dir mal auf die Sprünge helfen:
[mm]1+\tan^{2}\left(u\right)=\bruch{1}{\cos^{2}\left(u\right)}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
