Rekursionsformel beweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:21 Mi 02.02.2005 | | Autor: | tine |
Hallo,
wär lieb wenn mir jemand helfen könnte bei der folgenden Aufgabe:
Die Funktion [mm] \bruch{x}{e^{x}- 1} [/mm] besitzt eine Taylorentwicklung um x= 0, welche die Form hat [mm] \bruch{x}{e^{x}- 1}= \summe_{n= 0}^{\infty} \bruch{B_{n}}{n!} x^{n} [/mm] Man soll folgende Rekursionsformel beweisen: [mm] \summe_{n=0}^{N} \vektor{N+1 \\ n} B_{n}=0 [/mm] (N= 1,2,3 ...)
Benutzen darf ich dabei, dass die Reihe in einer Umgebung von x= 0 konvergiert und f(x) darstellt.
Mein Problem ist vorallem der Ansatz, das heißt ich hab keine Ahnung wie ich anfangen soll, wär schön wenn jemand ne Idee hätte!
Vielen Dank !!!
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Hallo,
fange so an:
[mm]
x\; = \;\left( {e^{x} \; - \;1} \right)\;\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{B_{n} }} {{n!}}} \;x^{n} [/mm],
wobei [mm]{e^{x} \; - \;1}[/mm] als Potenzreihe darzustellen ist.
[mm]e^{x} \; - \;1\; = \;\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{x^{m} }}
{{m!}}} [/mm]
Wende dann das Cauchy-Produkt an, das heisst multipliziere die beiden Potenzreihen.
Gruß
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:48 Do 03.02.2005 | | Autor: | tine |
Hallo,
erstmal vielen Dank für den Tipp!
Hier nun mein Ansatz- leider fehlt noch etwas oder das gesamte Teil ist falsch, keine Ahnung- hoffe es kann mir noch jemand weiterhelfen!!!
[mm] c_{n}= \summe_{k=o}^{n} a_{k-n} a_{k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=o}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!} \bruch{B_{k}}{(n-k)!} x^{k-n}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^{k}B_{k}}{n!(n-k)!}
[/mm]
Aber dort unten müßte doch eigentlich folgendes stehen:
[mm] \vektor{N+1 \\ n}= \bruch{(N+1)!}{n!((N+1)-n)!}
[/mm]
Ich hoffe es kann mir jemand helfen! Wär lieb! Gruß
nany
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Do 03.02.2005 | | Autor: | Max |
Ich habe nur kurz drüber nachgedacht, aber was mir aufgefallen ist, soweit ich weiß müssen beim Cauchy-Produktsatz die beiden Indizes der Reihen von $0$ bis [mm] $\infty$ [/mm] gehen, oder nicht. D.h. du müsstest
[mm] $x=(e^x-1) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n=\left(\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!}x^m -1\right)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} x^m\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n [/mm] - [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n$
[/mm]
benutzen und darauf den Cauchy-Produktsatz anwenden. Dann erhälst du durch Koeffizientenvergleich hoffentlich die gewünschte Bedingung.
Kann aber gut sein dass ich mich irre 
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Hallo Brackhaus,
die Vermutung ist richtig.
Durch Koeffizientenvergleich und einer Umformung kommt man auf diese Bedingung.
Übrigens beginnen die Potenzen auf der linken und rechten Seite bei 1.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:30 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Mathepower,
Mir ist mal aufgefallen, dass es doch eigentlich ziemlich egal ist ob man bei 1 oder 0 startet, da ja [mm] $B_0=0$ [/mm] sein muss, oder nicht?
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