Rekursion,expliziteDarstellung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mo 06.04.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Bezüglich eines Beweises zur Biejkivität von [0,1] zu ]0,1[ brauche ich eine explizite Darstellung von der Folge:
[mm] x_0=1
[/mm]
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{x_n}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{4}
[/mm]
und von der Folge mit selber Rekursionsvorschrift aber mit Anfangswert [mm] x_0=0
[/mm]
Im Skript steht [mm] x_n =\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2^{n+1}} [/mm] bzw. [mm] x_n=\frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2^{n+1}}, [/mm] wie komme ich am schnellsten auf diese Darstellung? |
Hallo,
Ich habe mir einige Folgenglieder angeschaut: [mm] x_0=1, x_1= [/mm] 1/4, [mm] x_2 [/mm] = 3/4, [mm] x_3=5/8 [/mm] sowie versucht die Rekursionsvorschrift ineinander zu schachteln aber wie findet man da eine allgemeine Form ohne viel herumzubasteln?
Über einen Tipp wäre ich dankbar!
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
vorweg: In dem rotmarkierten Teil wird sicher ein Fehler sein. Vielleicht
findet und korrigiert den ja jemand?
Für Dich: Scrolle einfach solange nach unten, bis nichts rotes mehr da
steht. Eigentlich sind es dann nur ein paar Zeilen, die für Dich interessant
sind!
> Bezüglich eines Beweises zur Biejkivität von [0,1] zu
> ]0,1[ brauche ich eine explizite Darstellung von der
> Folge:
> [mm]x_0=1[/mm]
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{x_n}{2}[/mm] + [mm]\frac{1}{4}[/mm]
> und von der Folge mit selber Rekursionsvorschrift aber mit
> Anfangswert [mm]x_0=0[/mm]
> Im Skript steht [mm]x_n =\frac{1}{2}[/mm] + [mm]\frac{1}{2^{n+1}}[/mm] bzw.
> [mm]x_n=\frac{1}{2}[/mm] - [mm]\frac{1}{2^{n+1}},[/mm] wie komme ich am
> schnellsten auf diese Darstellung?
Ich habe mich gerade mit der sogenannten z-Transformation beschäftigt,
damit wird das Ganze ziemlich schön:
Setze (mit [mm] $x_k=0$ [/mm] für alle $k [mm] \le [/mm] 0$)
[mm] $Y(z):=\sum_{k=-\infty}^\infty x_k z^{-k}\,,$
[/mm]
dann geht
[mm] $x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{4}$
[/mm]
über in
[mm] $\frac{1}{z}Y(z)=\frac{1}{2}Y(z)+\frac{1}{4}\sum_{k=1}^\infty (1/z)^k$,
[/mm]
also
[mm] $\frac{1}{z}Y(z)=\frac{1}{2}Y(z)+\frac{1}{4}*\frac{1/z}{1-\frac{1}{z}}$
[/mm]
bzw.
[mm] $\frac{1}{z}Y(z)=\frac{1}{2}Y(z)+\frac{1}{4}*\frac{1}{z-1}$
[/mm]
bzw.
[mm] $(2-z)*Y(z)=\frac{1}{2}*\frac{z}{z-1}\,.$
[/mm]
Also
[mm] $Y(z)=\frac{-1}{2}*\frac{z}{(z-1)*(z-2)}\,.$
[/mm]
Schreibe
[mm] $\frac{z}{(z-1)*(z-2)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-2}\,,$
[/mm]
dann folgt aus
$A(z-2)+B(z-1) [mm] \stackrel{!}{\equiv} [/mm] z$,
dass [mm] $A+B=1\,$ [/mm] und [mm] $2A+B=0\,.$ [/mm] Also
[mm] $A=-1\,$ [/mm] und [mm] $B=2\,,$
[/mm]
also
[mm] $Y(z)=\frac{-1}{2}*\left(\frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{-1}{2z}*\left((-1)*\frac{z}{z-1}+2*\frac{z}{z-2}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{-1}{2z}*\left((-1)*\sum_{k=0}^\infty z^{-k}+2*\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{z}\right)^{k}\right)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{k=1}^\infty \left\{\frac{1}{2}\;-\;2^{k+1}\right\}z^{-k}$
[/mm]
Mhm.... irgendwo werde ich mich wohl verrechnet haben. Wie gesagt: Ich hoffe,
jemand korrigiert das vielleicht mal...
Daher mal eine andere Idee:
Es gilt für
[mm] $x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{4}$:
[/mm]
* [mm] $x_1=\frac{1}{4}+\frac{x_0}{2}$
[/mm]
* [mm] $x_2=\frac{1}{4}+\frac{x_1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}*\left(\frac{1}{4}+\frac{x_0}{2}\right)=\frac{1}{4}*(1+\tfrac{1}{2})+\frac{x_0}{4}$
[/mm]
* [mm] $x_3=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}*x_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}*(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4})+x_0/8=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{\red{3-1}} \left(\frac{1}{2}\right)^k+\frac{x_0}{2^3}$
[/mm]
Die letzte Darstellung sollte Dir helfen!
Gruß,
Marcel
> Hallo,
> Ich habe mir einige Folgenglieder angeschaut: [mm]x_0=1, x_1=[/mm]
> 1/4, [mm]x_2[/mm] = 3/4, [mm]x_3=5/8[/mm]
Rein zu Testzwecken habe ich mal gerechnet: Für [mm] $n=3\,$ [/mm] ist
[mm] $x_n=x_3=\frac{1}{4}*\frac{2^{n}-1}{2^{n}}*2+\frac{x_0}{2^n}=\frac{1}{2}*\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)+\frac{x_0}{2^n}$
[/mm]
Bei Dir ist ja [mm] $x_0=1,$ [/mm] damit
[mm] $x_n=x_3=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^4}=\frac{9}{16}$
[/mm]
Deine ersten Folgenglieder stimmen übrigens nicht, denn es ist schon
[mm] $x_0=1$ [/mm]
[mm] $\Longrightarrow$ $x_1=\frac{1}{4}+\frac{x_0}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$,
[/mm]
Du hattest aber [mm] $x_1=1/4$ [/mm] behauptet...
Gruß,
Marcel
> sowie versucht die
> Rekursionsvorschrift ineinander zu schachteln aber wie
> findet man da eine allgemeine Form ohne viel
> herumzubasteln?
>
> Über einen Tipp wäre ich dankbar!
> LG,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mo 06.04.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen lieben Dank, der Teil der für mich bestimmt war hat mich schnell zur Lösung geführt [mm] x_n [/mm] = [mm] \frac{1}{4}\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{2})^k [/mm] + [mm] \frac{x_0}{2^n} [/mm] die ich durch Induktion bewiesen habe und die mich anschließend mit der Formel der geoemtrischen Summe zu der Lösung im Skriptum brachte.
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Vielen lieben Dank, der Teil der für mich bestimmt war hat
> mich schnell zur Lösung geführt [mm]x_n[/mm] =
> [mm]\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{2})^k[/mm] +
> [mm]\frac{x_0}{2^n}[/mm] die ich durch Induktion bewiesen habe
genau: Konstruktiv motiviert habe ich sie ja quasi (im Prinzip *sieht* man
dabei ja, dass diese Formel rauskommt; um ganz sicher zu gehen und um
möglichst *sauber* zu arbeiten, hast Du es genau richtig gemacht: Beweis
per Induktion!).
> und die mich anschließend mit der Formel der geoemtrischen
> Summe zu der Lösung im Skriptum brachte.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dennoch hier der Hinweis: In Büchern zur Signaltheorie steht gerne (oder
gar immer?) drin, dass man viele Rekursionsformeln für Folgen etwa mit
der z-Transformation in eine explizite Darstellung bringen kann.
Ich bin da aber wohl ein typischer *Verrechner*; denn schon zum zweiten
Mal habe ich mich bei diesem Weg wohl verrechnet.
Aber wenn Du mal Zeit und Lust hast oder es später mal brauchst: Schlag'
es einfach mal nach, ich denke, jeder, der Analysis I-II (notfalls I bis IV) gehört
hat, sollte das Prinzip dabei schnell verstehen. Im Endeffekt wird man da
auch einen Identitätssatz anwenden, der aber bei *Praktikern* wohl keiner
oder selten einer Erwähnung *bedarf*; zu wissen, dass sie einfach einen
"Koeffizientenvergleich" 'machen dürfen', reicht dann wohl. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Di 07.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Sissile,
>
> vorweg: In dem rotmarkierten Teil wird sicher ein Fehler
> sein. Vielleicht
> findet und korrigiert den ja jemand?
>
> Für Dich: Scrolle einfach solange nach unten, bis nichts
> rotes mehr da
> steht. Eigentlich sind es dann nur ein paar Zeilen, die
> für Dich interessant
> sind!
>
> > Bezüglich eines Beweises zur Biejkivität von [0,1] zu
> > ]0,1[ brauche ich eine explizite Darstellung von der
> > Folge:
> > [mm]x_0=1[/mm]
> > [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{x_n}{2}[/mm] + [mm]\frac{1}{4}[/mm]
> > und von der Folge mit selber Rekursionsvorschrift aber
> mit
> > Anfangswert [mm]x_0=0[/mm]
> > Im Skript steht [mm]x_n =\frac{1}{2}[/mm] + [mm]\frac{1}{2^{n+1}}[/mm]
> bzw.
> > [mm]x_n=\frac{1}{2}[/mm] - [mm]\frac{1}{2^{n+1}},[/mm] wie komme ich am
> > schnellsten auf diese Darstellung?
ich hatte einen Ansatzfehler:
Es ist
[mm] $y[k+1]=[y_k]/2\,+\,x[k+1]$ [/mm] ($k [mm] \in \IN_0$)
[/mm]
mit [mm] $y[0]=x[0]=x_0$ [/mm] und $x[k]=1/4$ für $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann folgt mit [mm] $Y(z):=\sum_{k=-\infty}^\infty y[k]z^{-\,k}$
[/mm]
$z*Y(z) [mm] \equiv \frac{1}{2}Y(z)+\sum_{k=-\infty}^\infty x[k+1]z^{-\,k}$
[/mm]
und damit
$z*Y(z) [mm] \equiv \frac{1}{2}Y(z)\,+\,\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]z^{-\,k\,+1}\,,$
[/mm]
also
$z*Y(z) [mm] \equiv \frac{1}{2}Y(z)\,+\,z\,x_0+z*\sum_{k=1}^\infty x[k]*z^{-k}$
[/mm]
Vermutlich wird da immer noch irgendwo ein Fehler sein - oder beim
Weiterrechnen habe ich mich wieder verrechnet, aber wenigstens kam
ich so auf eine Formel, die wenigstens einigermaßen sinnvoll war (nicht
mit [mm] $2^n$'s, [/mm] sondern [mm] $2^{\red{-}\,n}$'s).
[/mm]
Vielleicht kann ja jemand mal versuchen, mit der z-Transformation das
vorzurechnen; denn ich verzettel mich da anscheinend permanent. ^^
Interessant wäre es aber schon. 
P.S. Eventuell ist auch einfach oben im Ansatz irgendwo ein kleiner Fehler,
den ich schon immer und immer wieder übersehe. Daher bitte am Besten
nicht einfach nur Abschreiben.
Gruß,
Marcel
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