Rektifizierbarkeit Lsg prüfen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Mo 27.02.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | [mm] \gamma:[0,1]\to\IR, t\mapsto t^2\sin(\pi/t), [/mm] t>0 und [mm] \gamma(0)=0.
[/mm]
Zeigen Sie Rektifizierbarkeit! |
Guten Abend,
ich hab es so gemacht:
Sei Z eine Zerlegung von [0,1]: [mm] 0=t_0
Dann gilt [mm] L_Z(\gamma)=\sum_{k=1}^n|\gamma(t_k)-\gamma(t_{k+1})|=\underbrace{|\gamma(t_0)-\gamma(t_1)|}_{\le1}+\sum_{k=2}^n|\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1})|\le1+\int_0^1 |\gamma'(t)|dt.
[/mm]
Der letzte Schritt geht, weil [mm] \gamma [/mm] auf [mm] [\varepsilon,1] [/mm] stetig differenzierbar also rektifizierbar ist.
[mm] \gamma'(t)=t^2\cos(\pi/t)*(-\pi)/t^2+2t\sin(\pi/t)=-\pi\cos(\pi/t)+2t\sin(\pi/t). [/mm] Das ist beschränkt auf dem Intervall [0,1], deswegen gilt [mm] \int_0^1 |\gamma'(t)|dt=:C<\infty [/mm] und für beliebige Zerlegung Z wurde gezeigt [mm] L_Z(\gamma)\le1+C<\infty.
[/mm]
Damit folgt die Rektifizierbarkeit von [mm] \gamma.
[/mm]
Stimmt das ?
Bitte um Hilfe,
Gruß mili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Di 28.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\gamma:[0,1]\to\IR, t\mapsto t^2\sin(\pi/t),[/mm] t>0 und
> [mm]\gamma(0)=0.[/mm]
>
> Zeigen Sie Rektifizierbarkeit!
> Guten Abend,
>
> ich hab es so gemacht:
>
> Sei Z eine Zerlegung von [0,1]: [mm]0=t_0
>
> Dann gilt
> [mm]L_Z(\gamma)=\sum_{k=1}^n|\gamma(t_k)-\gamma(t_{k+1})|=\underbrace{|\gamma(t_0)-\gamma(t_1)|}_{\le1}+\sum_{k=2}^n|\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1})|\le1+\int_0^1 |\gamma'(t)|dt.[/mm]
>
> Der letzte Schritt geht, weil [mm]\gamma[/mm] auf [mm][\varepsilon,1][/mm]
> stetig differenzierbar also rektifizierbar ist.
>
> [mm]\gamma'(t)=t^2\cos(\pi/t)*(-\pi)/t^2+2t\sin(\pi/t)=-\pi\cos(\pi/t)+2t\sin(\pi/t).[/mm]
> Das ist beschränkt auf dem Intervall [0,1], deswegen gilt
> [mm]\int_0^1 |\gamma'(t)|dt=:C<\infty[/mm] und für beliebige
> Zerlegung Z wurde gezeigt [mm]L_Z(\gamma)\le1+C<\infty.[/mm]
>
> Damit folgt die Rektifizierbarkeit von [mm]\gamma.[/mm]
>
> Stimmt das ?
Ja, so kannst Du das machen, aber es geht einfacher:
Du hast ja schon erkannt, dass [mm] \gamma' [/mm] auf [0,1] beschränkt ist, also ex. ein c>0 mit
[mm] |\gamma'(t)| \le [/mm] c für alle t [mm] \in [/mm] [0,1].
Mit dem Mittelwertsatz folgt:
[mm] |\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1}| \le c(t_k-t_{k-1})
[/mm]
Damit ist [mm] L_Z(\gamma) \le [/mm] c.
FRED
>
> Bitte um Hilfe,
> Gruß mili
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