Rekonstruktion von Funktionen2 < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Hatte ja schon mal zu diesem Thema gepostet, habe jetzt nochmal eine Frage zu einer anderen Aufgabe (da man ja nur eine Aufgabe/Thema pro Frage posten soll, habe ich einen neuen Post aufgemacht). Die AUfgabe lautet diesmal:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat im Wendepunkt W (1 |- [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] die Steigung -4. Bestimmen sie die Funktionsgleichung!
So, habe erstmal wieder einen Ansatz gemacht=>
f(x)= [mm] ax^{4}+b x^{3}+c x^{2}+dx+e [/mm] (Funktion vierten Grades)
Aus dem Wendepunkt kann man ja dann die folgende Eigenschaft "rauslesen": f(1)=- [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
und f"(1)=0 (hoffe das stimmt?)
So, jetzt die Frage: was besagt mir die Steigung -4 im Wendepunkt und das der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist?
Hoffe ihr könnt mir da weiter helfen;)?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Do 27.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chaoslegend!
> Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist
> achsensymmetrisch zur y-Achse und hat im Wendepunkt W (1 |-
> [mm]\bruch{1}{2})[/mm] die Steigung -4. Bestimmen sie die
> Funktionsgleichung!
>
> So, habe erstmal wieder einen Ansatz gemacht=>
> f(x)= [mm]ax^{4}+b x^{3}+c x^{2}+dx+e[/mm] (Funktion vierten
> Grades)
>
> Aus dem Wendepunkt kann man ja dann die folgende
> Eigenschaft "rauslesen": f(1)=- [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> und f"(1)=0 (hoffe das stimmt?)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Alles ok!!
> So, jetzt die Frage: was besagt mir die Steigung -4 im
> Wendepunkt und das der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse
> ist?
Die Steigung einer Kurve erhalten wir ja durch die 1. Ableitung.
Es muß hier also gelten: [mm] $f'(x_w) [/mm] = f'(1) = -4$
Allgemein gilt für eine Funktion, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist:
$f(x) \ = \ f(-x)$.
Verbal formuliert heißt das, daß wir eine "gerade Funktion" vorliegen haben.
Es treten also nur gerade Potenzen von x auf.
In unserem Beispiel heißt das konkret:
$f(x) \ = \ [mm] a*x^4 [/mm] + [mm] b*x^3 [/mm] + [mm] c*x^2 [/mm] + d*x + e \ = \ [mm] a*x^4 [/mm] + [mm] \red{0}*x^3 [/mm] + [mm] c*x^2 [/mm] + [mm] \red{0}*x [/mm] + e \ = \ [mm] a*x^4 [/mm] + [mm] c*x^2 [/mm] + e$
Wir brauchen also nur noch 3 Unbekannte berechnen!
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Danke! Habe jetzt mal gerechnet, vielleicht könntet ihr ja nochmal überprüfen (wenn ihr lusst habt):
Da die Funktion ja achsensymmetrisch ist, kommt also folgende Funktion raus:
[mm] f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e [/mm] Dann die Ableitungen bilden:
[mm] f'(x)=4ax^{3}+2cx
[/mm]
[mm] f"(x)=12ax^{2}+2c
[/mm]
Aus den Eigenschaften geht folgendes hervor:
1. f"(1)=0 => 12a+2c=0
2. [mm] f(1)=-\bruch{1}{2} [/mm] => [mm] a+c+e=-\bruch{1}{2}
[/mm]
3. f'(1)=-4 => 4a+2c=-4
So, dann das Gleichungsystem:
1.-2.: 12a+2c=0
-
4a+2c=-4
_________
8a=4
[mm] a=\bruch{1}{2}
[/mm]
in 3.: 2+2c=-4
2c=-6
c=-3
in 2.: [mm] \bruch{1}{2}-3+e=-\bruch{1}{2}
[/mm]
e=2
Habe dann nochmal zur überprüfung in alle Eigenschaften eingesetzt, und es war alles richtig! Daraus folgt folgende Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^{4}-3x^{2}+2
[/mm]
Hoffe dass das stimmt;)?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Do 27.01.2005 | | Autor: | Duke |
hi chaoslegend!
also ich hab keinen Fehler in deiner Rechnung gefunden!
Gruß
Duke
|
|
|
| |
|
Nochmal danke an alle die mir geholfen haben;)! Jetzt versteh ich das endlich mal (so schwer is es ja nicht)! Nur leider habe ich noch mit der 1. Aufgabe ein problem, mal sehen, ob mir das jemand helfen kann;)!
|
|
|
|
