Rekonstruktion von Funktionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Mi 21.04.2010 | | Autor: | blck |
| Aufgabe | | Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat ein Maximum bei x = [mm] \wurzel{3} [/mm] und schließt im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt [mm] \bruch{9}{4} [/mm] ein. Um welche Funktion handelt es sich? |
Hallo,
die Aufgabenstellung liefert mir wie üblich ja eine Menge Hinweise. Diese habe ich gefunden:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
[mm] f'(\wurzel{3})=0
[/mm]
A im ersten Quadranten = [mm] \bruch{9}{4}, [/mm] wobei gilt x>0 und y>0.
Punktsymetrisch zum Ursprung: P(0|0), d.h. f(-x)=-f(x)
Mir fehlt jetzt aber der absolute Ansatz, also z.B. ein Gleichungssystem oder so, hoffe ihr könnt mir helfen.
MfG Blck
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo blck!
Aus der Punktsymmetrie folgt unmittelbar, dass sich $f(x) \ = \ [mm] a*x^3+b*x^2+c*x+d$ [/mm] reduziert auf $f(x) \ = \ [mm] a*x^3+c*x$ [/mm] .
Berechne nun die positive Nullstelle [mm] $x_1$ [/mm] . Dann muss zudem gelten:
[mm] $$\integral_0^{x_1}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9}{4}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 21.04.2010 | | Autor: | blck |
Hallo, danke für deine schnelle Antwort.
Nullstelle heißt für mich, dass f(x)=0 ist. Daraus folgt, dass die Funktion nun so aussieht : 0=ax³+cx. Mir fehlt jetzt eine Zahl, denn ich könnte z.B. -cx machen, bringt mich aber nicht weiter, ich könnte durch x teilen, dann hätte ich [mm] \bruch{0}{x}= [/mm] a x ² . Das heißt dann, dass die linke Seite 0 ist und ich dann habe 0=ax². Nur dann ist irgendwann alles Null.
MfG Blck
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> 0=ax³+cx.
Ja.
> jetzt eine Zahl, denn ich könnte z.B. -cx machen, bringt
> mich aber nicht weiter, ich könnte durch x teilen, dann
> hätte ich [mm]\bruch{0}{x}=[/mm] a x ² . Das heißt dann, dass die
Wo ist bitte das c hinverschwunden?
[mm] $\sqrt{3}$ [/mm] ist ein Maximum, was sagt Dir was über die Vorzeichen von a und c?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 21.04.2010 | | Autor: | blck |
Hallo, auch dir vielen dank.
Das mit dem c war natürlich blöd  . So nun habe ich nach der weiteren Umformung x ² [mm] =-\bruch{c}{a}. [/mm] Nun hackt es wieder.
>
> [mm]\sqrt{3}[/mm] ist ein Maximum, was sagt Dir was über die
> Vorzeichen von a und c?
>
Ich würd sagen dass diese dann positiv sind?!
Nun muss ich ja später auch noch f(x) ableiten, ohne im Moment jedenfalls irgendwas zu kennen. Werde da also auch noch hängen bleiben.
Das Problem ist, dass unser Mathelehrer sich immer in den Zeiten verschätzt, die wir mit den Aufgaben verbringen sollen. Aber das ist nicht euer Ding.
Danke :(,
Blck
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass f(0)=0 hast du schon bei der Punktsymmetrie verwendet.
also hast du nur noch das Maximum bei [mm] x=\wurzel{3}
[/mm]
du hast ja schon selbst geschrieben [mm] f'(\wurzel{3})=0
[/mm]
und Loddar hat dir die 2 te gleichung geschrieben. also 2 gl. mit 2 Unbekannten, falls du dabei ein Vorzeichen unklar bleibt, wie muss die 2.te Ableitung bei [mm] \wurzel{3} [/mm] aussehen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 21.04.2010 | | Autor: | blck |
So,
dann stellt sich ein Gleichungssystem auf, wobei dir erste Gleichung:
[mm] f'(\wurzel{3})=0 [/mm] also [mm] \bruch{a}{4}(\wurzel{3})^{4}+\bruch{c}{2}(\wurzel{3}) [/mm] ² = 0
Und die zweite Gleichung ist das jetzt die mit dem Integral oder die f(x)=ax³+cx ?
Danke nochmal,
Blck
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Hallo blck,
> So,
> dann stellt sich ein Gleichungssystem auf, wobei dir erste
> Gleichung:
> [mm]f'(\wurzel{3})=0[/mm] also
> [mm]\bruch{a}{4}(\wurzel{3})^{4}+\bruch{c}{2}(\wurzel{3})[/mm] ² =
> 0
Hier hast Du das Integral mit der Ableitung verwechselt.
> Und die zweite Gleichung ist das jetzt die mit dem
> Integral oder die f(x)=ax³+cx ?
Ja, wobei Du hier die Grenzen des Integrals berechnen musst,
also die Nullstellen von f(x).
>
> Danke nochmal,
> Blck
Gruss
MathePower
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