Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Di 19.11.2013 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | | [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{\ln(1+i)}[/mm] |
Hallo, ich würde gerne obiges beweisen, aber ich komme kein Stück weiter. Der Hinweis, der gegeben ist, verwirrt mich eher
noch: Die Fkt [mm]x \mapsto \frac{x}{\ln(1+x)}[/mm] ist auf [mm][1,\infty)[/mm] streng monoton wachsend.
Hätte jemand eine Idee? Die Monotonie ist ja z.B. wichtig beim Integralvergleichskriterium und dem Cauchyschen Verdichtungssatz (allerdings braucht man da monoton fallend...).
Würde mich über eure Hilfe freuen!
LG
Christian
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Di 19.11.2013 | | Autor: | fred97 |
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{\ln(1+i)}[/mm]
>
>
>
>
> Hallo, ich würde gerne obiges beweisen,
Was ? Es ist ein Limes zu berechnen (falls er existiert) !
> aber ich komme
> kein Stück weiter. Der Hinweis, der gegeben ist, verwirrt
> mich eher
> noch: Die Fkt [mm]x \mapsto \frac{x}{\ln(1+x)}[/mm] ist auf
> [mm][1,\infty)[/mm] streng monoton wachsend.
>
> Hätte jemand eine Idee? Die Monotonie ist ja z.B. wichtig
> beim Integralvergleichskriterium und dem Cauchyschen
> Verdichtungssatz (allerdings braucht man da monoton
> fallend...).
>
> Würde mich über eure Hilfe freuen!
Nach dem Hinweis hat man:
[mm] \bruch{i}{\ln(1+i)} \le \bruch{n}{\ln(1+n)} [/mm] für i=1,2,..,n.
Damit ist [mm] \sum_{i=1}^{n}\frac{i}{\ln(1+i)} \le n*\bruch{n}{\ln(1+n)}=\bruch{n^2}{\ln(1+n)},
[/mm]
also
0 [mm] \le \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{\ln(1+i)} \le \bruch{1}{\ln(1+n)}
[/mm]
FRED
>
> LG
> Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Di 19.11.2013 | | Autor: | Fry |
Hey Fred,
ich meinte natürlich, dass der Limes berechnet werden soll. ;) Da war ich etwas vorschnell.
Herzlichen Dank für deine Hilfe !!!
LG
|
|
|
|
