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Hallo,
ich möchte bei der Reihe die Konvergenz bestimmen
[mm] \summe \bruch{n^2}{3n^3+2}
[/mm]
Ich wollte gerne das Grenzwertkriterium nehmen, das bei uns so lautet: Die Reihe nimmt das geleiche Konvergenzverhalten einer Vergleichsreihe an, wenn der Grenzwert der Original-Reihe geteilt durch die Vergleichsreihe zwischen 0 und unendlich liegt.
Ich habe hier durch [mm] \bruch{1}{n^3} [/mm] geteilt, aber dann bekomme ich am Ende aus [mm] \bruch{n^5}{3n^3+2}:
[/mm]
[mm] \bruch{n^2}{3+2/n^3}, [/mm] also [mm] \bruch{n^2}{3}. [/mm] Das ist größer 0, also müsste die Reihe wie [mm] 1/n^3 [/mm] konvergieren, aber sie divergiert.
Was habe ich falsch gemacht?
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> Hallo,
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> ich möchte bei der Reihe die Konvergenz bestimmen
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> [mm]\summe \bruch{n^2}{3n^3+2}[/mm]
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> Ich wollte gerne das Grenzwertkriterium nehmen, das bei uns
> so lautet: Die Reihe nimmt das geleiche Konvergenzverhalten
> einer Vergleichsreihe an, wenn der Grenzwert der
> Original-Reihe geteilt durch die Vergleichsreihe zwischen 0
> und unendlich liegt.
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> Ich habe hier durch [mm]\bruch{1}{n^3}[/mm] geteilt, aber dann
> bekomme ich am Ende aus [mm]\bruch{n^5}{3n^3+2}:[/mm]
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> [mm]\bruch{n^2}{3+2/n^3},[/mm] also [mm]\bruch{n^2}{3}.[/mm] Das ist größer
> 0, also müsste die Reihe wie [mm]1/n^3[/mm] konvergieren, aber sie
> divergiert.
>
> Was habe ich falsch gemacht?
Deine Vergleichsreihe passt hier wohl nicht.
Die Summanden
[mm] $\bruch{n^2}{3n^3+2}=\bruch{1}{3n+\bruch{2}{n^2}}=\bruch{1}{n}*\bruch{1}{3+\bruch{2}{n^3}}$
[/mm]
der vorliegenden Reihe deuten eher darauf hin, dass
man als Vergleichsreihe die harmonische Reihe
nehmen sollte.
LG
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Unsere Übungsleiterin meinte nämlich dass es sich bei dem kriterium anbietet 1/(die höchste Potenz im Nenner) zu nehmen als Vergleichsreihe. Das hat auch meistens geklappt, daher wundert mich das. Finde ich also nur durch Umstellen heraus, welche Vergleichsreihe angebracht ist?
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> Unsere Übungsleiterin meinte nämlich dass es sich bei dem
> kriterium anbietet 1/(die höchste Potenz im Nenner) zu
> nehmen als Vergleichsreihe. Das hat auch meistens geklappt,
> daher wundert mich das. Finde ich also nur durch Umstellen
> heraus, welche Vergleichsreihe angebracht ist?
Der Tipp der Leiterin ist wohl dann sinnvoll, wenn
der Zähler konstant ist. Hier hast du aber zunächst
im Zähler noch die Potenz [mm] n^2. [/mm] Kürze zuerst diese
raus und wende den Tipp dann an !
LG
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