Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Sebus |
| Aufgabe | Sei [mm]\sum_{k=1}^{\infty} a_n[/mm] absolut konvergent, [mm]b_n[/mm] eine Nullfolge, und [mm]c_n := \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}[/mm].
a) Man zeige [mm]c_n \to 0[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm].
b) Man zeige: falls [mm]\sum a_n = a[/mm] und [mm]\sum b_n[/mm] konvergiert (nicht notwendig absolut) mit [mm]\sum b_n = b[/mm], dann konvergiert das Cauchy-Produkt von [mm]\sum a_n[/mm] und [mm]\sum b_n[/mm] gegen [mm]ab[/mm].
Hinweis zu b). Setze [mm]A_n := \sum_{k=0}^n a_k, B_n := \sum_{k=0}^n b_k, C_n := \sum_{k=0}^n c_k[/mm] (n-te Partialsummen). Mit [mm]r_n := B_n - b[/mm] gilt dann [mm]C_n = a_0 B_n + a_1 B_{n-1} + ... + a_n B_0 = A_n b + (a_0 r_n + ... + a_n r_0[/mm]). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Es fehlt mir jede Ahnung, wie ich überhaupt anfangen soll und es irritiert mich etwas, dass die Reihe (?) [mm]c_n[/mm] gegen Null laufen soll, obwohl (möglicherweise) unendlich viele positive Summanden summiert werden.
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> Sei [mm]\sum_{k=1}^{\infty} a_n[/mm] absolut konvergent, [mm]b_n[/mm] eine
> Nullfolge, und [mm]c_n := \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}[/mm].
>
> a) Man zeige [mm]c_n \to 0[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm].
> b) Man zeige:
> falls [mm]\sum a_n = a[/mm] und [mm]\sum b_n[/mm] konvergiert (nicht
> notwendig absolut) mit [mm]\sum b_n = b[/mm], dann konvergiert das
> Cauchy-Produkt von [mm]\sum a_n[/mm] und [mm]\sum b_n[/mm] gegen [mm]ab[/mm].
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> Hinweis zu b). Setze [mm]A_n := \sum_{k=0}^n a_k, B_n := \sum_{k=0}^n b_k, C_n := \sum_{k=0}^n c_k[/mm]
> (n-te Partialsummen). Mit [mm]r_n := B_n - b[/mm] gilt dann [mm]C_n = a_0 B_n + a_1 B_{n-1} + ... + a_n B_0 = A_n b + (a_0 r_n + ... + a_n r_0[/mm]).
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Es wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Es
> fehlt mir jede Ahnung, wie ich überhaupt anfangen soll und
> es irritiert mich etwas, dass die Reihe (?) [mm]c_n[/mm] gegen Null
> laufen soll, obwohl (möglicherweise) unendlich viele
> positive Summanden summiert werden.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, eine Reihe (also Folge von Partialsummen) ist [mm] c_n [/mm] nicht, das sieht man am bsten, wenn man mal ein paar gleider aufschreibt:
[mm] c_1 [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{1} a_k b_{1-k}=a_0 b_{1} +a_1 b_{0}
[/mm]
[mm] c_2 [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{2} a_k b_{2-k}=a_0 b_{2} [/mm] + [mm] a_1 b_{1} [/mm] + [mm] a_2 b_{0}
[/mm]
[mm] c_3 [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{3} a_k b_{3-k}=a_0 b_{3} +a_1 b_{2} [/mm] + [mm] a_2 b_{1} +a_3 b_{0}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Ich hab den Beweis noch nicht durchgeführt.
Spontan würde ich das versuchen zu zeigen, was die Definition der Konvergenz vorgibt: daß man zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein passendes N findet, so daß für alle n>N
[mm] |\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}| <\varepsilon [/mm] ist.
Sicher wird man hierfür die Eigenschaften von [mm] \summe a_n [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] ausspielen müssen.
(Ich selbst würde, um mich erstens davon zu überzeugen, ob die Aussage stimmt, und zweitens ein Gefühl dafür zu bekommen, was geschieht, zuvor eine abs. konvergente Reihe hernehmen und irgendeine Nullfolge und gucken, wie [mm] c_n [/mm] eigentlich funktioniert).
Gruß v. Angela
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