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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:43 Mi 19.11.2014 | | Autor: | lukasana |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(((n+1)^2)/n!) [/mm] |
Ich habe bereits versucht mit dem Quotientenkriterium die Reihe zu lösen allerdings komme ich auf einen sehr unübersichtlichen Bruch..
Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich hier möglichst elegant vorgehen kann?
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo lukasana!
Das ist hier aber ein ziemlich klassischer Fall für das Quotientenkriterium.
Rechne doch mal vor. Auf jeden Fall lässt sich schnell einiges kürzen und vereinfachen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Mi 19.11.2014 | | Autor: | lukasana |
Mit Hilfe des Quotientenkriteriums erhalte ich:
lim sup [mm] ((n+2)^2)/(n+1)!*(n!/(n+1)^2)
[/mm]
Anscheinend fehlt mir hier eine Rechenregel mit der ich das vereinfachen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
kürze doch mal die (n+1)! gegen die n!, das hilft.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mi 19.11.2014 | | Autor: | lukasana |
Ich kann doch mit (n+1)! und n! kürzen?
Oder gibt es da eine Rechenregel?
Danke für die schnellen Antworten!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mi 19.11.2014 | | Autor: | ito |
[mm] $(n+1)!=(n+1)n(n-1)...3\cdot2\cdot1$ [/mm] analoges gilt für $n!$
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich kann doch mit (n+1)! und n! kürzen?
> Oder gibt es da eine Rechenregel?
offenbar gilt
[mm] $(n+1)!=(n+1)*n!\,.$
[/mm]
Beweis:
[mm] $(n+1)!=\produkt_{k=1}^{n+1}k=\left(\produkt_{k=1}^{n}k\right)*(n+1)=(n+1)*\left(\produkt_{k=1}^{n}k\right)=(n+1)*n!$
[/mm]
P.S. Bei solchen Fragen vielleicht auch erstmal einfache Beispiele probieren:
$4!/3!=(4*3*2*1)/(3*2*1)=4$
[mm] $7!/6!=(7*6*5*4*3*2*1)/(6*5*4*3*2*1)=7\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mi 19.11.2014 | | Autor: | lukasana |
Danke Marcel für die ausführliche Antwort!
Mit freundlichen Grüßen
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