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Hallo zusammen
Bin gerade an folgender Aufgabe:
Untersuche auf Konvergenz:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}
[/mm]
Habe bereits versucht es mit dem Quotienten- / Wurzelkriterium zu lösen, jedoch funktioniert das nicht!
Desshalb dachte ich vielleich funktioniert das Majorantenkriterium. Bin aber bisher noch nicht auf eine wirklich sinnvolle Abschätzung gekommen.
Könnte mir jemand einen Tipp geben?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Di 05.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen
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> Bin gerade an folgender Aufgabe:
> Untersuche auf Konvergenz:
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}[/mm]
Hallo,
der Term [mm] \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n}}[/mm] konvergiert gegen e.
Der Term [mm] \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}[/mm] hat für große n annähernd die Form e/n.
Wenn bereits die Summe aller 1/n divergiert...
Gruß Abakus
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> Habe bereits versucht es mit dem Quotienten- /
> Wurzelkriterium zu lösen, jedoch funktioniert das nicht!
>
> Desshalb dachte ich vielleich funktioniert das
> Majorantenkriterium. Bin aber bisher noch nicht auf eine
> wirklich sinnvolle Abschätzung gekommen.
> Könnte mir jemand einen Tipp geben?
>
> Liebe Grüsse
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Hallo abacus
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Habe es mir nun so aufgeschrieben:
Da [mm] (n+1)^{n} \ge n^{n} \Rightarrow \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n}} \ge [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le \bruch{1}{n} \le \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Nach dem Minoratenkriterium (Wir wissen [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] div.): [mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+1}} [/mm] divergent
Ist das so richtig?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Di 05.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo abacus
>
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Habe es mir nun so aufgeschrieben:
> Da [mm](n+1)^{n} \ge n^{n} \Rightarrow \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n}} \ge[/mm]
> 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\le \bruch{1}{n} \le \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n}}[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> [mm]%5CRightarrow[/mm] Nach dem Minoratenkriterium (Wir wissen
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm] div.): [mm]\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}[/mm]
> divergent
>
> Ist das so richtig?
Bestens!
>
> Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Di 05.11.2013 | | Autor: | Babybel73 |
:) :) :) :) Juhuiiii :) :) :) :)
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Wäre auch so gegangen:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}>\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{n^{n+1}}= \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] divergent
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