Reihen und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
| Aufgabe | Reihen auf Konvergenz bwz. absolute Konvergenz Untersuchen
[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n/\wurzel{n}
[/mm]
[mm] a_{n+1}/a_{n}=(-1)^{n+1}/\wurzel{n+1}*\wurzel{n}/(-1)^n=-1*\wurzel{n}/\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] |a_{n+1}/a_{n}|=|-(\wurzel{n}/\wurzel{(n+1)}|\to [/mm] 1 1=L<1
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*n/n+1
[/mm]
[mm] a_{n+1}/a_{n}=((-1)^{n+1}*(n+1/n+1+1))*(n+1/(-1)^n*n)=-1*1*n+1/n
[/mm]
[mm] |a_{n+1}/a_{n}|=|-(n+1/n)|\to1 [/mm] 1=L<1 |
Ich soll die zwei alternierenden Reihen auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz untersuchen ich habe dies mal versucht und würde um eine Korrektur bzw. anmerkungen bitten falls nötig.
[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n/\wurzel{n}
[/mm]
[mm] a_{n+1}/a_{n}=(-1)^{n+1}/\wurzel{n+1}*\wurzel{n}/(-1)^n=-1*\wurzel{n}/\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] |a_{n+1}/a_{n}|=|-(\wurzel{n}/\wurzel{(n+1)}|\to [/mm] 1 1=L<1
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*n/n+1
[/mm]
[mm] a_{n+1}/a_{n}=((-1)^{n+1}*(n+1/n+1+1))*(n+1/(-1)^n*n)=-1*1*n+1/n
[/mm]
[mm] |a_{n+1}/a_{n}|=|-(n+1/n)|\to1 [/mm] 1=L<1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blub,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Untersuche bei der 2. Reihe das notwendige Kriterium, ob [mm] $(-1)^n*\bruch{n}{n+1}$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Loddar,
> Hallo Blub,
>
> !!
>
>
> Untersuche bei der 2. Reihe das notwendige Kriterium, ob
> [mm](-1)^n*\bruch{n}{n+1}[/mm] eine Nullfolge ist.
war mir gerade auch nochmal ins Auge gesprungen (ich war noch etwas von dem Quotienten von a) irritiert), ist mittlerweile korrigiert.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
danke für die schnelle antwort ich werde es mal so versuchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
ich habe es nochmal versucht ich hoffe das es diesmal richtig ist.
a)$ [mm] a)\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n/\wurzel{n} [/mm] $
Vorausstezung für konvergenz nach Leibniz
[mm] 1)\limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n}|=0
[/mm]
[mm] 2)|a_{n}|\ge |a_{n+1}|
[/mm]
Beweis: 1)grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1/\wurzel{n}=0
[/mm]
2)Monotonie [mm] 1/\wurzel{n}>1/\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] \wurzel{n+1}>\wurzel{n}
[/mm]
dies zeigt das die reihe Mon. fallend ist
da beide bedingungen erfühlt sind ist die reihe konvergent
b)$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot{}n/n+1 [/mm] $
Trivialkriterium vorausstezung
[mm] 1)a_{n}\to0
[/mm]
2)Mon. fallend
Beweis:1 Wenn die Reihe Konverengt ist, so auch
[mm] S_{n}=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}
[/mm]
[mm] =a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+an+1
[/mm]
=(-0,5)+(-0,66)+(-0,75)+...+(-n/n+1)
und damit ist [mm] S_{n}\to1 [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
1)Mon.
[mm] a_{n}>a_{n+1}
[/mm]
-(n/n+1)>(n+1)/(n+1+1)
[mm] -n^2-2n >-n^2-2n-1
[/mm]
Reihe Mon. fallend
Mit 1 und 2 zeigt das die Reihe Mon. fallend gegen 0 Konv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blub!
Aufgabe a.) sieht gut aus.
Dagegen hast Du Aufgabe b.) falsch gemacht. Ist [mm] $\bruch{n}{n+1}$ [/mm] wirklich ein Nullfolge?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
nein sie ist keine nullfolge
habe ich damit gezeigt das die Reihe div.ist und nicht Konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blub!
> nein sie ist keine nullfolge
>
> habe ich damit gezeigt das die Reihe div.ist und nicht
> Konvergiert?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ganz genau ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
ich danke für die hilfe :)
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Leibnizkriterium