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Reihen Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 So 19.04.2009
Autor: StevieG

Aufgabe
Untersuchen sie die Reihen auf Konvergenz:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} (\bruch{4}{n})^{n} [/mm]

Zunächst habe ich das Leibnitz kriterium angewannt: [mm] (-1)^{n}bk [/mm]

Daraufhin Quotientenkriterium mit [mm] |\bruch{bk+1}{bk}| [/mm]

[mm] {\bruch{(\bruch{4}{n+1})^{n+1}}{(\bruch{4}{n})^{n}}} [/mm]

= [mm] \bruch{4^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}* \bruch{n^{n}}{4^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{4^{n+1}*n^{n}}{(n+1)^{n+1}*4^{n}} [/mm]

Ab hier weiss ich nicht weiter und ich habe probleme das zu kürzen.
brauche hilfe.

gruss

        
Bezug
Reihen Konvergenz: Leibniz-Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 So 19.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Stevie!



Wenn Du das Leibnizkriterium anwendest, benötigst Du kein weiteres Konvergenzkriterium.

Nach Leibniz musst Du nachweisen, dass [mm] $\left(\bruch{4}{n}\right)^n$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.


Alternativ zu Leibniz kannst Du auch das Quotientenkriterium anwenden. Oder hier noch schneller: das []Wurzelkriterium.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Reihen Konvergenz: Dein Weg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 So 19.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Stevie!


Noch eine Anmerkung zu Deinem Weg mittels Quotientenkriterium.

Du kannst hier wie folgt zerlegen:
[mm] $$\bruch{4^{n+1}*n^n}{(n+1)^{n+1}*4^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4^n*4^1*n^n}{(n+1)^n*(n+1)^1*4^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n+1}*\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n+1}*\bruch{1}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n+1}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Reihen Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 So 19.04.2009
Autor: StevieG

Laut lösung:

...= [mm] \bruch{4}{n+1}*\bruch{n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm]

ich verstehe nicht wie das zustande kommt.

gruss

Bezug
                        
Bezug
Reihen Konvergenz: Potenzgesetze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 So 19.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Stevie!


Hier habe ich zunächst durch [mm] $4^n$ [/mm] gekürzt und den Term [mm] $(n+1)^{n+1}$ [/mm] gemäß MBPotenzgesetz zerlegt:
[mm] $$(n+1)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)^n*(n+1)^1$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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