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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Di 16.09.2008 | | Autor: | Woaze |
| Aufgabe | | Im Otto Forster analysis 1 wird auf seite 66 die konvergenz der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^k} [/mm] bewiesen. |
Dabei wird folgendermasen umgeformt.
[mm] ...\summe_{n=1}^{2^{m+1}-1}\bruch{1}{n^k} \le\summe_{i=0}^{m}2^i\bruch{1}{(2^i)^k}...
[/mm]
könnte mir diesen schritt jemand erklären ich sehe das nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Di 16.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Im Otto Forster analysis 1 wird auf seite 66 die konvergenz
> der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^k}[/mm] bewiesen.
> Dabei wird folgendermasen umgeformt.
>
> [mm]...\summe_{n=1}^{2^{m+1}-1}\bruch{1}{n^k} \le\summe_{i=0}^{m}2^i\bruch{1}{(2^i)^k}...[/mm]
>
> könnte mir diesen schritt jemand erklären ich sehe das
> nicht
Es fällt sicher die unterschiedliche Anzahl von Summanden auf. Es scheint sich um eine Abschätzung der folgenden Art zu handeln:
1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/ 6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + ... usw. ist kleiner als
1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + .....
letzters ist gleich
2* (1/2) + 4* (1/4) + 8* (1/8) + .....
Du hast also am Ende durch die Zusammenfassung vieler gleicher Zweierpotenzen wesentlich weniger Summanden als am Anfang.
Gruß Abakus
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